平面几何基础知识教程（圆）
一、
几个重要定义
外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心 内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心 垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心
凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形 折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）
（折四边形）
二、
圆内重要定理：
1． 四点共圆
定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆 基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补 证明：略 判定方法：
1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆 2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆 证明：略
特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆 3．视角定理：若折四边形ABCD中，?ADB??ACB，则A，B，C，D四点共圆
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证明：如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P 因为?ADB??ACB，所以
ΔCPB∽ΔDPAPCPB?PDPA再注意到?CPD??BPA所以有因此ΔCPD∽ΔBPA因此?PCD??PBA由此?BCD??BAD??BCA??PCD??BAD??BDA??PBA??BAD?180（ΔABD的内角和）因此A，B，C，D四点共圆
特别地，当?ADB??ACB=90时，四边形ABCD有一外接圆 2．圆幂定理：
圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。 相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则PA?PB?PC?PD
证明：
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连AC，BD，则?CAB??CDB（等弧对等圆周角）而?APC??DPB（对顶角相等）因此ΔAPC∽ΔDPBPAPC即?，因此PA?PB?PC?PDPDPB
（切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两割（切）线PAB，PCD，则
PA?PB?PC?PD
证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。
特别地，当C，D两点重合成为一点C’时，割线PCD变成为切线PC’ 而由割线定理，PA?PB?PC?PD?PC'2，此时割线定理成为切割线定理 而当B，A两点亦重合为一点A’时，由切割线定理PC'2?PA?PB?PA'2 因此有PC’=PA’，此时切割线定理成为切线长定理
现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：
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如图，PCD是圆的割线，PE是圆的切线
设圆心为O，连PO，OE，则由切割线定理有：
PC?PD?PE2而注意到黄色Δ是RTΔ，由勾股定理有：
PE2?PO2?OE2，结合切割线定理，我们得到
PC?PD?PE2?PO2?OE2，这个结果表明，如果圆心O与P是确定的，那么
PC与PD之积也是唯一确定的。 以上是P在圆外的讨论
现在再重新考虑P在圆内的情形，如下图，PCD是圆内的现，PAB是以P为中点的弦
则由相交弦定理有PA?PB?PA（因为P是弦AB中点）=PC?PD
2连OP，OA，由垂径定理，ΔOPA是RTΔ由勾股定理有
PA2?OA2?OP2，结合相交弦定理，便得到
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2PA?PB?PA（因为P是弦AB中点）=PC?PD?OA2?OP2
这个结果同样表明，当O与P是固定的时候PC与PD之积是定值 以上是P在圆内的讨论
当P在圆上时，过P任作一弦交圆于A（即弦AP），此时
PO2?OA2?0也是定值
综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，得到圆幂定理。
圆幂定理：P是圆O所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P任作一直线交圆O于A，B两点（A，B两点可以重合，也可以之一和P重合），圆O半径为r
22则我们有：PA?PB?|PO?r|
由上面我们可以看到，当P点在圆内的时候，PO?r?0，此时圆幂定理为相交弦定理
当P在圆上的时候，PO?r?0
当P在圆外的时候，PO?r?0此时圆幂定理为切割线定理，割线定理，或切线长定理
以下有很重要的概念和定理：根轴
先来定义幂的概念：从一点A作一圆周上的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的幂
对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。 根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴 性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线
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初中数学竞赛辅导（圆）
