运用均值不等式的八类配凑方
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运用均值不等式的八类拼凑方法
利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知0?x?1，求函数y??x3?x2?x?1的最大值。
解：y??x2?x?1???x?1???x?1??1?x2???x?1??1?x?
2?x?1x?1???1?x????32x?1x?12?4????1?x??4?2 。 ??22327????3当且仅当
x?1132。 ?1?x，即x?时，上式取“=”。故ymax?2327评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的
“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数y?x21?x2?0?x?1?的最大值。
x2x2解：y?x?1?x??4????1?x2?。
2242?x2x22???1?x???1?x2x2222因???1?x???， ??22327??????236x2当且仅当??1?x2?，即x?时，上式取“=”。故ymax?。
9323评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条
件。
例3 已知0?x?2，求函数y?6x?4?x2?的最大值。
解：y2?36x2?4?x2??18?2x2?4?x2??4?x2?23
?2x2??4?x2???4?x2??18?83???18?。
327????当且仅当2x2??4?x2?，即x?23时，上式取“=”。 33故ymax232318?83?，又y?0,ymax?。
327一、 拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等
式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件
例4 设x??1，求函数y??x?5??x?2?的最小值。
x?1???x?1??4??x?1??1??????x?1?4?5?2解：y?x?1x?1当且仅当x?1时，上式取“=”。故ymin?9。
?x?1?4?5?9。 x?1评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形
式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。
例5 已知x??1，求函数y?24?x?1??x?3?2的最大值。
解：x??1,?x?1?0，
?y?24?x?1??24?24?3。
2?2?4?x?1?2?4?x?1??4?x?1??4?4x?1当且仅当x?1时，上式取“=”。故ymax?3。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化
为常数，再设法将分母“拼凑定积”。
2?cosx例6 已知0?x??，求函数y?的最小值。
sinxx?x解：因为0?x??，所以0??，令tan?t，则t?0。
22211?cosx1?t213t13t???t???2?3。所以y?sinxsinx2t2t22t24
运用均值不等式的八类配凑方法
