机械原理
机 构运 动分 析 基
上 机 指 导 书
本 杆组 法
Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计
随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。
1. 单杆运动分析子程序
单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某基
’ ，θ’，要求点P1的运动参数x1，y1，x’ 1，y’ 1，x’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ
确定构件上点P2和P3的运动参数。 显然，由图1可得下列关系式：
x2=x1+lcosθ， y2=y1+lsinθ
’ ， y’ =y’ +lcosθ’ x’ 2=x’ 1-lsinθθθ21’-lcosθ’ 2, y’=y’+lcosθ’-lsinθ’ 2 x’2=x’1-lsinθθθθθ21
x3=x1+rcos(θ+α)， y3=y1+rsin(θ+α)
’ ， y’ =y’ +(x-x)θ’ x’ 3=x’ 1-(y3-y1)θ3131’-(x-x)θ’ 2, y’=y’+(x-x)θ’-(y-y)θ’ 2 x’3=x’1-(y3-y1)θ31313131
由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。
图1
2. RRR杆组运动分析子程序
图2所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加速度分量为x1，x’ 1，x’1，y1，y’ 1，y’’1，x2，x’ 2，x’2，y2，y’ 2，y’’2，要求确定两杆的角度、角速
’ ，θ’，θ，θ’，θ’。 度和角加速度θ1，θ11222
1) 位置分析
将已知P1P2两点的坐标差表示为：
u=x2-x1，v=y2-y1 (1) 杆l1及l2投影方程式为： l1cosθ1-l2cosθ2=u
l1sinθ1-l2sinθ2=v (2) 消去θ1得：vsinθ2+ucosθ2+c=0 (3) 其中：c=(u2+v2+l22-l12)/2l2 解式(3)可得：
tan(θ2/2)=(v±v2?u2?c2)/(u-c) (4)
式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。 图2
由式(2)可得：
tanθ1=(v+l2sinθ2)/(u+l2cosθ2) (5) 2) 速度分析
’’’’’’
对式(2)求导一次得：A1θ1+A3θ2=u，A2θ1+A4θ2=v (6) 其中：A1=-l1sinθ1，A2=l1cosθ1，A3=l3sinθ2，A4=-l2cosθ2
’’’’’’
解式(6)可得：ω1=θ1=(A4u-A3v)/D，ω2=θ2=(A1v-A2u)/D (7) 其中：D=A1A4-A2A3=l1l2sin(θ1-θ2) 3) 加速度分析
’+Aθ’’’
对式(6)求导一次得：A1θ132=E，A2θ1+A4θ2=F (8)
’2+Aθ’2’’2-Aθ’2
其中：E=u’+A2θ142，F=v-A1θ132
’=(AE-AF)/D，α=θ’=(AF-AE)/D (9) 解式(8)可得：α1=θ1432212
由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。
3. RRP杆组运动分析子程序
图3所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3的
’，θ’）方向角变量（θ2，θ22， P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，
’，l’，θ’。 要求确定运动变量l2，θ1，l’2，θ121
1) 位置分析 由于θ2已知，l2待求，将式(2)消去θ1可得： l22+2(ucosθ2+vsinθ2)l2+(u2+v2-l12)=0 由此解得：
l2=-(ucosθ2+vsinθ2)±
2l1?(usin?2?vcos?2)2 (10)
式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（
图3中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段 之内（图3中m=-1的位置）。 θ1由式(5)而定。
2) 速度分析
对式(2)求导一次得： 图3
’+Al’=G，Aθ’’ A1θ15221+A6l2 =H (11)
’，H=v’-lAθ’
其中：A1，A2同前，A5=-cosθ2，A6=-sinθ2，G=u’+l2A6θ2252
’=(AG-AH)/D，l’=(AH-AG)/D (12) 解式(11)可得：ω1=θ16582128
其中：D8=A1A6-A2A5=l1cos(θ1-θ2) 3) 加速度分析
’’’’
对式(11)求导一次得：A1θ1+A5 l2=E1，A2θ1+A6 l2=F1 (13)
’2’’’2’
其中：E1=u’+A2θ1+2A6l2θ2+l2A5θ2+l2A6θ2
’2’’’2’
F1=v’-A1θ1-2A5l2θ2+l2A6θ2-l2A5θ2
’’
解式(13)可得：α1=θ1=(A6E1-A5F1)/D8，l2=(A1F1-A2E1)/D8 (14)
由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。
4. RPR杆组运动分析子程序
图4所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离， P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取
’，θ’，l’，θ’，θ’。 正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，θ1，θ2，l’2，θ12212
1) 位置分析
θ1与θ2的关系为：θ2=θ1±π/2 (15) 式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两 位置。
l1与l2有如下关系：
l2?u2?v2?(l1?w)2 (16)
由式(4)和式(16)可得：
tan(θ2/2)=[v±(l1-w)]/(u-l2) (17)
2) 速度分析
’=θ’，引进符号θ’（i=1,2） 由于θ，对 12i
式(2)求导一次得：
’+Al’=u’，Aθ’’’
A7θi528i+A6l2=v (18) 其中：A7=-(l1-w)sinθ1+l2sinθ2
A8= (l1-w)cosθ1-l2cosθ2 图4 解式(18)可得：
ωi=θi=(A6u’ -A5v’)/(-l2)，l’2=(A7v’ -A8u’)/(-12) (19)
3) 加速度分析
’+Al’=E，Aθ’’
对式(18)求导一次得：A7θi5228i+A6l2=F2 (20)
’2+2Al’θ’’’2-2Al’θ’其中：E2=u’+A8θi62i，F2=v-A7θi52i
’=(AE-AF)/(-l)，l’=(AF-AE)/(-l) (21) 解式(20)可得：αi=θi62522272822
由上述式子可设计出 RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。 m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。
5．PRP杆组运动分析子程序
图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知
’
运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ1，’’’’θ1，θ2，θ2，θ2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l1，l’2，l’1，l’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’3，y3，y’3，y’3）。
1） 位置分析
推导l1，及l2的方程式：
x1+l1cosθ1+h1sinθ1 = x2+l2cosθ2-h2sinθ2 y1+l1sinθ1-h1cosθ1 = y2+l2sinθ2+h2cosθ2 整理得：
l1cosθ1 - l2cosθ2 = E1
l1sinθ1 - l2sinθ2 = F1 (22) 其中：E1=u- A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，
A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2 。
由于θ1 ，θ2均已知，由此解得： l1 =（F1 cosθ2 - E1sinθ2） / D8
l2 =（F1 cosθ1 - E1sinθ1） / D8 (23) 其中：D8 = A2A3 - A1A4 = sin（θ1-θ2)
P3点的位置为：
x3 = x1 + l1cosθ1 + h1sinθ1
y3 = y1 + l1sinθ1 - h1cosθ1 (24) 2）速度分析
对式（22）求导一次，整理得：
l’1cosθ1 - l’2cosθ2 = E2 图5 l’1sinθ1 - l’2sinθ2 = F2 (25)
’– Aθ’’’– Aθ’
其中：E2 =u’ + A6θ1 82 ，F2 = v - A5θ1 72 ，A5 = l1cosθ1 + h1sinθ1 ， A6 = l1sinθ1 - h1cosθ1 ，A7 = l2cosθ2 - h2sinθ2 ，A8 = l2sinθ2+ h2cosθ2 。
由（25）解得：
l’1=（F2 cosθ2 - E2sinθ2）/ D8
l’2=（F2 cosθ1 - E2sinθ1) / D8 (26)
P3点的速度为对式（24）求导得：
’ x’3 = x’1 + l’1cosθ1 + A6θ1’y’3 = y’1 + l’1sinθ1 - A5θ1 (27)
3） 加速度分析
对式（25）求导一次，整理得： l’1cosθ1 - l’2cosθ2 = E3
l’1sinθ1 - l’2sinθ2 = F3 (28)
’+ Aθ’ 2 ’’’–Aθ’ 2 ’
其中：E3 = u’ + 2A3l’1θ1 51+ A6θ1–2A4l2θ272– A8θ2 ，
机械原理基本杆组分析法
