专题强化训练(一) 函数与方程思想
一、选择题
1．[2024·河南名校联考]在平面直角坐标系中，已知三点A(a,2)，→⊥AC→，则a2＋b2的最小B(3，b)，C(2,3)，O为坐标原点，若向量OB值为( )
12A.5 C．12
18B.5 D．18
→＝(3，b)，AC→＝(2－a,1)， 解析：由题意得OB
→⊥AC→，∴OB→ ·→＝3(2－a)＋b＝0， ∵OBAC
9??
?∴b＝3a－6，∴a＋b＝a＋9(a－2)＝10a－36a＋36＝10a－5???
2
2
2
2
2
2
1891822
＋5，所以当a＝5时，a＋b取得的最小值，且最小值为5，故选
答案：B
2．[2024·安徽马鞍山一模]已知正项等比数列{an}的前n项和为
B.
13
Sn，若a4＝8，S3－a1＝4，则S5＝( )
31A.32 31C.8
解析：易知q>0且q≠1，且 1a1q＝8，31
3
31B.16 31D.4
?
?a?1－q?3
－a＝4，
?1－q
1
?a1＝1，解得?1
?q＝2，
11－32
a1?1－q5?31
所以S5＝＝＝116，故选B. 1－q
1－2
答案：B
3．[2024·山东滨州期中]若对于任意的x>0，不等式mx≤x2＋2x＋4恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，4] C．[－2,6]
2
B．(－∞，6] D．[6，＋∞)
4
解析：∵x>0，∴mx≤x＋2x＋4?m≤x＋x＋2对任意实数x>044
恒成立．令f(x)＝x＋x＋2，则m≤f(x)min，因为f(x)＝x＋x＋2≥2＋2＝6，当且仅当x＝2时取等号，所以m≤6，故选B.
答案：B
x2y2
4．[2024·河北唐山一模]椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )
1A.2 1C.3 3B.2 3D.3
4x·x
32b2
解析：由题意可得2c＝2×a，所以2ac＝3(a2－c2)，即3e2
3
＋2e－3＝0，由e∈(0,1)，解得e＝3，故选D.
答案：D
5．[2024·宁夏银川一中二模]已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) C．[－1，＋∞)
B．[－1,4) D．[－1,6]
解析：不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价y?y?y于a≥x－2?x?2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立．令t＝x∈[1,3]，所以a≥t
??
?1?21
－2t在[1,3]上恒成立，又y＝－2t＋t＝－2?t－4?＋8，则当t＝1时，
??
2
2
ymax＝－1，所以a≥－1，故选C.
答案：C
6．[2024·河南十所名校联考]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a6＝25，S5＝40，则数列{an}的公差d＝( )
A．4 C．2
B．3 D．1
解析：由a3＋a6＝25，S5＝40得
?a1＋2d＋a1＋5d＝25，
?5×4
?5a1＋2d＝40，
答案：B
解得d＝3，故选B.
x2y2
7．[2024·安徽合肥质检一]设双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线分别交双曲线左、右两支→·→→→于点M，N，连接MF2，NF2，若MF2NF2＝0，|MF2|＝|NF2|，则双曲线C的离心率为( )
A.2 C.5
B.3 D.6
→·→→⊥NF→.又|MF→|＝|NF→|，→→解析：由MF知MF2NF2＝0，2222则|MF2|＝|NF2
→|－|MF→|＝2a?|MF212→|＝2|MN|，且∠F1NF2＝45°.由双曲线的定义得?，
→→?|NF1|－|NF2|＝2a→|－|NF→|＋|MN→|＝4a，即|MN→|＝4a，则|NF→|＝22a，两式相加，得|MF222→|＝2a＋|NF→|＝(2＋22)a.在△NFF中，所以|NF由余弦定理，得|F→12121F2
22→|2＋|NF→|2－2|NF→|·→|2＝|NF121|NF2|cos∠F1NF2，即4c＝(22a)＋(2＋
2
22)a－2×22a×(2＋22)a×2，整理，得c2＝3a2，所以e2＝3，
22
2024版新高考二轮复习理科数学专题强化训练(一)函数与方程思想Word版含解析
