人教版A版高中数学选修 2-3课后习答案
品数
X～B(3,0.02)，恰好抽到1件次品的概率为
1P(X?1)?C3?0.02?(1?0.02)2?3?0.02?0.982?0.057624.
在无放回的方式抽取中，抽到的次品数X是随机变量，X服从超几何分布，X的分布与产品的总数n有关，所以需要分3种情况分别计算：
①n?500时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500×2％＝10，合格品的件数为490. 从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为
490?48910?12CC30?490?4892!P(X?1)?103490???0.057853.
500?499?498C500500?499?4983!②n?5000时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为5000×2％＝100，合格品的件数为4900. 从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为
12C100C4900300?4900?4899P(X?1)???0.057647. 3C50005000?4999?4998③n?50000时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为50000×2％＝1000，
合格品的件数为49000. 从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为
12C1000C490003000?49000?48999P(X?1)???0.057626. 3C5000050000?49999?49998（2）根据（1）的计算结果可以看出，当产品的总数很大时，超几何分布近似为
二项分布. 这也是可以理解的，当产品总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率近似不变. 这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布.
说明：由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算. 另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：
第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布.
第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色球的次数X服从超几何分布. 但是当袋子中的球的数目N很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.
2．3离散型随机变量的均值与方差 练习（P64）
1、不一定. 比如掷一枚硬币，出现正面的次数X是随机变量，它取值0，1，取每个值的概率都为0.5，其均值是0.5，即不是1，也不是0. 再比如随机变量X的分布列为
10 ?10 X 0.4 0.6 P X的均值是2，而不是10. 说明：本题的目的是希望学生不要误解均值的含义，均值是随机变量取值的平均
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水平，它不一定是随机试验的结果之一.
2、E(X)?0?0.1?1?0.2?2?0.3?3?0.2?4?0.1?5?0.1?2.3. 说明：根据定义计算离散型随机变量的均值，是最基本的习题. 3、X的分布列为
1 ?1 X 0.5 0.5 P 所求均值为
E(X)??1?0.5?1?0.5?0.
说明：要计算离散型随机变量的均值，一般首先写出该随机变量的分布列. 4、第1台机床生产零件的平均次品数E(X1)?0?0.4?1?0.3?2?0.2?3?0.1?1， 第2台机床生产零件的平均次品数E(X2)?0?0.3?1?0.5?2?0.2?0.9. 因为第2台机床生产零件的平均次品数E(X2)小于第1台机床生产零件的平均次品数E(X1)，所以第2台机床更好，其实际含义是随着产量的增加，第2台机床生产出的次品数要比第1台机床生产出的次品数小.说明：本题考查学生对随机变量均值含义的理解.
5、同时抛掷5枚质地均匀的硬币，相当于做5次重复试验，出现正面向上的硬币数X服从二项分布B(5,0.5)，所以E(X)?np?5?0.5?2.5. 说明：教科书已给出二项分布的均值，本题可以直接利用这个结果. 练习（P68）
1、E(X)?0?0.1?1?0.2?2?0.4?3?0.2?4?0.1?2，
D(X)?(0?2)2?0.1?(1?2)2?0.2?(2?2)2?0.4?(3?2)2?0.2?(4?2)2?0.1?1.2， D(X)?1.095.
说明：这个分布列是对称的，对称轴是X?2，所以均值为2. 图象表示的分布列如下：
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2、E(X)?c?1?c，D(X)?(c?c)2?1?0.
说明：随机变量X满足P(X?c)?1，其中c为常数，这个分布称为单点分布，实际上，这里把常数看成是特殊的离散型随机变量. 因为该随机变量仅取一个值，当然刻画离散程度的量应该为0.
3、随机变量的方差反映随机变量的取值稳定（或偏离）于均值的程度. 方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近. 通常在均值相等的情况要比较方差的大小.
例如，在本节63页例3中，三个方案的平均损失相等，通常我们会选择方差最小的方案.
再例如，有两种投资方案，它们的平均收益相同，但方差不同，是选择方差大的方案还是选择方差小的方案，这要因情况而定. 如果一个人比较喜欢冒险，那么应该选择方差大的方案；如果一个人喜欢稳定的收入，那么应该选择方差小方案. 如股票投资和储蓄两种方案，假设它们的平均收益相同，喜欢冒险的人一般会选择股票投资.
说明：通过让学生举例子的方式，希望学生理解方差的含义. 习题2.3 A组（P68）
1、E(X)??2?0.16?1?0.44?3?0.4?1.32，
D(X)?(?2?1.32)2?0.16?(1?1.32)2?0.44?(3?1.32)2?0.4?2.9376
D(X)?1.714.
说明：已知离散型随机变量的分布列，计算均值、方差和标准差属于最基本的习题.
12、a?b? 说明：利用均值的定义和分布列的性质即可求得.
33、在同样的条件下连续射击10次，相当于做10次独立重复试验，击中靶心的次数X服从二项分布B(10,0.9)，所以E(X)?np?10?0.9?9.
说明：此题类似64页第5题，在教科书中已给出二项分布的均值的公式，本题可以直接利用这个结果，不用再按均值的定义重新计算. 4、设X表示一张彩票的中奖金额，则它的分布列为 0 2 10 50 100 1000 X 0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005 P 其均值为 E(X)?2?0.1?10?0.03?50?0.01?100?0.005?1000?0.0005?2.
说明：如果发行彩票的公司按每张2元销售，并且中奖规则如题中所述，那么该公司一分钱也赚不到，连手续费都要自己出，没有公司会按这种方式发行彩票. 通常一张彩票可能中奖金额的均值要小于买一张彩票的金额，小的越多公司挣得越多，学生可以就某一种彩票的中奖情况进行分析.
5、E(X1)?6?0.16?7?0.14?8?0.42?9?0.1?10?0.18?8，
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D(X1)?(6?8)2?0.16?(7?8)2?0.14?(8?8)2?0.42?(9?8)2?0.1?(10?8)2?0.18 ?1.6
E(X2)?6?0.19?7?0.24?8?0.12?9?0.28?10?0.17?8
D(X2)?(6?8)2?0.19?(7?8)2?0.24?(8?8)2?0.12?(9?8)2?0.28?(10?8)2?0.17
?1.96
因为甲、乙两名射手射击的环数均值相等，而乙射手射击的环数方差比甲射手射击的环数方差大，所以可以说，甲、乙两名射手射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在8环，而乙得分比较分散，近似平均分配在6～10环.
说明：考查学生对离散型随机变量的均值和方差的理解. 习题2.3 B组（P68）
1、利用古典概型计算概率的公式计算试验成功的概率：
P?试验成功包含的基本事件个数205??.
基本事件总数3695在30次试验中成功次数X服从二项分布B(30，)，成功次数X的均值为
9550E(X)?np?30???16.7.
93说明：本题的关键是看出在30次试验中的成功次数X服从二项分布和计算试验成功的概率p.
2、设这台机器一周内可能获利X万元，首先计算X可能取每个值的概率：
P(X?5)?(1?0.1)5?0.59049，
1P(X?2.5)?C5?0.1?(1?0.1)4?0.32805
P(X?0)?C52?0.12?(1?0.1)3?0.0729
P(X??1)?1?P(X?5)?P(X?2.5)?P(X?0)?0.00856
即X的分布列如下： 5 2.5 0 X 0.59049 0.32805 0.0729 P 所以，这台机器一周内可能获利的均值为 ?1 0.00856 E(X)?5?0.59049?2.5?0.32805?0?0.0729?(?1)?0.00856?3.764015. 说明：与习题A中第4题类似，需要先求出X的分布列，然后再求X的均值. 这
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里求分布列时用到了二项分布. 2．4正态分布 练习（P74）
1、由正态分布密度曲线可知，参数??60，??8，所以
P(52?X?68)?P(60?8?X?60?8)?0.6826.
说明：本题从两方面考查学生对正态分布的理解：第一，对正态分布密度曲线特点的认识；第二，了解X落在区间(???,???),(??2?,??2?),(??3?,??3?)的概率大小.
2、例1 某地区16岁男孩的身高分布可以近似看成正态分布.
例2 某厂生产的某种型号的灯泡的使用寿命的分布可以近似看成正态分布. 说明：教科书中第72页给出了在现实生活中服从正态分布的例子，学生只要把那些例子具体化，就能举出很多实例.
3、由于正态分布密度曲线关于x??对称，因此
P(??X????)?11P(????X????)??0.6826?0.3413. 22说明：利用正态分布密度曲线的对称性和X落在区间(???,???)，
(??2?,??2?)，(??3?,??3?)的概率，计算X落在其他一些特殊区间的概率. 习题2.4 A组（P75） 1、（1）因为f(?x)?偶函数.
（2）当x?0时，f(x)达到最大值f(0)?1e2??(?x)22?1e2??x22?f(x)，x?(??,??)，所以f(x)是
1. 2? （3）在区间(??,0]上f(x)单调递增，在区间(0,??)上f(x)单调递减. 说明：本题中给出了标准正态分布的定义，即??0，??1的正态分布为标准正态分布. 此题的目的是加深学生对标准正态分布密度曲线的特点的认识.
2、设该种包装的大米质量为X，由X～N(10,0.12)知，正态分布密度函数的两个参数为
??10，
??0.1， 所以
P(9.8?X?10.2)?P(10?2?0.1?X?10?2?0.1)?0.9544
说明：本题考查学生是否了解服从正态分布的随机变量X落在区间
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