人教版A版高中数学选修 2-3课后习答案
第一章 计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 练习(P6) 1、(1)要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”,不同的选法种数是5+4=9;
(2)要完成的“一件事情”是“从A村经B村到C村去”,不同路线条数是3×2=6. 2、(1)要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”,不同的选法种数是3+5+4=12;
(2)要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”,不同选法种数是3×5×4=60.
3、因为要确定的是这名同学的专业选择,并不要考虑学校的差异, 所以应当是6+4-1=9(种)可能的专业选择. 练习(P10)
1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是aibjck的形式,所以可以分三步完成:第一步,取ai,有3种方法;第二步,取bj,有3种方法;第三步,取ck,有5种方法. 根据分步乘法计数原理,展开式共有3×3×5=45(项).
2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成,每一步都是从0~9这10个数字中取一个,共有10×10×10×10=10000(个). 3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长,有5种方法;第二步选副组长,有4种方法. 共有选法5×4=20(种). 4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成:先从6个门中选一个进入,再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5=30(种). 习题1.1 A组(P12) 1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4+7=11(种). 2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类,后分步”,不同的路线共有2×3+4×2=14(条). 3、对于第一问,“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1,5,9,13是奇数,4,8,12,16是偶数,所以1,5,9,13中任意一个为分子,都可以与4,8,12,16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数:第一步,选分子,有4种选法;第二步,选分母,也有4种选法. 共有不同的分数4×4=16(个). 对于第二问,“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类:分子为1时,分母可以从4,8,12,16中任选一个,有4个;分子为5时,分母可以从8,12,16中选一个,有3个;分子为9时,分母从12,16中选一个,有2个;分子为13时,分母只能选16,有1个. 所以共有真分数4+3+2+1=10(个). 4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识,容易得到不同的接通线路有3+1+2×2=8(条). 5、(1)“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同,因此可以分两步完成:第一步,从A中选横坐标,有6个选择;第二步,从A中选纵坐
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标,也有6个选择. 所以共有坐标6×6=36(个). (2)“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的,因此可分两步完成:第一步,取斜率,有4种取法;第二步,取截距,有4种取法. 所以共有直线4×4=16(条).
习题1.1 B组(P13) 1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复,最后一个只能在0~5这六个数字中拨,所以有号码10×10×10×6=6000(个). 2、(1)“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个,每人限报一个,可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队,所以不同报法种数是34.
(2)“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点,故不同的选法种数是53. 1.2排列与组合 练习(P20)
1、(1)ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc;
(2)ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed.
47?15?14?13?12?32760; (2)A7?7!?5040; 2、(1)A1587A125A12 (3)A?2A?8?7?6?5?2?8?7?1568; (4)7?7?5.
A12A124828N 2 3 6 4 24 5 6 7 8 N! 2 120 720 5040 40320 3、
8767777?8A7?7A6?8A7?8A7?A7?A74、(1)略. (2)A8. 33?60(种). 6、A4?24(种). 5、A5练习(P25) 1、(1)甲、乙, 甲、丙, 甲、丁, 乙、丙, 乙、丁, 丙、丁;
冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 (2)
亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙
2、?ABC,?ABD,?ACD,?BCD.
32?20(种). 4、C4?6(个). 3、C625、(1)C6?6?58?7?6?15; (2)C83??56; 1?21?2?32
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3?C62?35?15?20; (4)3C83?2C52?3?56?2?10?148. (3)C76、
m?1m?1m?1(n?1)!n!mCn?1????Cn n?1n?1(m?1)![(n?1)?(m?1)]!m!?n?m?!习题1.2 A组(P27) 1
、(
1
)
325A5?4A4?5?60?4?12?348; (2)
1234A4?A4?A4?A4?4?12?24?24?64.
197333?C200?1313400; (3)C6?455; (2)C2002、(1)C15?C84?2; 7 (4)Cnn?1?Cn?2n?Cnn?1n(n?1)n(n2?1)?C?(n?1)??.
222nn?1nnnn2n?13、(1)An?1?An?(n?1)An?An?nAn?nAn?1;
(2)
(n?1)!n!(n?1)!?k?n!(n?k?1)n!???. k!(k?1)!k!k!4、由于4列火车各不相同,所以停放的方法与顺序有关,有A84?1680(种)不同的停法.
4?24. 5、A4206、由于书架是单层的,所以问题相当于20个元素的全排列,有A20种不同的排
法.
7、可以分三步完成:第一步,安排4个音乐节目,共有A44种排法;第二步,安排舞蹈节目,共有A33种排法;第三步,安排曲艺节目,共有A22种排法. 所以不同
432?A3?A2?288(种). 的排法有A48、由于n个不同元素的全排列共有n!个,而n!?n,所以由n个不同的数值可以
以不同的顺序形成其余的每一行,并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复,m可以取的最大值是n!. 9、(1)由于圆上的任意3点不共线,圆的弦的端点没有顺序,所以共可以画
2C10?45(条)不同的弦;
3?120(个)(2)由于三角形的顶点没有顺序,所以可以画的圆内接三角形有C10.
10、(1)凸五边形有5个顶点,任意2个顶点的连线段中,除凸五边形的边外都是对角线,所以共有对角线C52?5?5(条);
3
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2(2)同(1)的理由,可得对角线为Cn?n?n(n?3)(条).说明:本题采用间2接法更方便.
11、由于四张人民币的面值都不相同,组成的面值与顺序无关,所以可以分为四类面值,分别由1张、2张、3张、4张人民币组成,共有不同的面值
1234C4?C4?C4?C4?15(种).
12、(1)由“三个不共线的点确定一个平面”,所确定的平面与点的顺序无关,所以共可确定的平面数是C83?56;
(2)由于四面体由四个顶点唯一确定,而与四个点的顺序无关,所以共可确定
4?210. 的四面体个数是C103?10. 13、(1)由于选出的人没有地位差异,所以是组合问题,不同的方法数是C5(2)由于礼物互不相同,与分送的顺序有关系,所以是排列问题,不同方法数
3?60; 是A5(3)由于5个人中每个人都有3中选择,而且选择的时间对别人没有影响,所以是一个“可重复排列”问题,不同方法数是35?243;
(4)由于只要取出元素,而不必考虑顺序,所以可以分两步取元素:第一步,从集合A中取,有m种取法;第二步,从集合B中取,有n种取法. 所以共有取法mn种.
说明:第(3)题是“可重复排列”问题,但可以用分步乘法计数原理解决. 14、由于只要选出要做的题目即可,所以是组合问题,另外,可以分三步分别从
31?C32?C2?24. 第1,2,3题中选题,不同的选法种数有C415、由于选出的人的地位没有差异,所以是组合问题.
2?60; (1)C52?C4 (2)其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有C72?21(种)选法; (3)用间接法,在9人选4人的选法中,把男甲和女乙都不在内的去掉,就得
4?91; 到符合条件的选法数为C94?C7如果采用直接法,则可分为3类:只含男甲;只含女乙;同时含男甲女乙,得到
332?C7?C7?91; 符合条件的方法数为C7 (4)用间接法,在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,
4?120. 得到选法总数为C94?C54?C4也可以用直接法,分别按照含男生1,2,3人分类,得到符合条件的选法数为
13231C5C4?C52C4?C5C4?120.
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16、按照去的人数分类,去的人数分别为1,2,3,4,5,6,而去的人大家没有
1356?C62?C6?C64?C6?C6?63(种). 地位差异,所以不同的去法有C61453C2?C198?124234110;C198?2410141734;C198?1274196;17、(1) (2) (3) 31455C198?C2?C198?125508306. 解法2:C200?C198?125508306. (4)解法1:
说明:解答本题时,要注意区分“恰有”“至少有”等词.
习题1.2 B组(P28)
71、容易知道,在C37注彩票中可以有一个一等奖.
在解决第2问时,可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会,它们分别是
1111??和. 68C372324784C3738608020要将一等奖的机会提高到
11以上且不超过,
6000000500000n?6000000, 即500000?C37用计算机可得,n?6,或n?31.
所以可在37个数中取6个或31个.
2、可以按照I,II,III,IV的顺序分别着色:分别有5,4,3,3种方法,所以着色种数有5×4×3×3=180(种). 3、“先取元素后排列”,分三步完成:第一步,从1,3,5,7,9中取3个数,有C53种取法;第二步,从2,4,6,8中取2个数,有C42种取法;第三步,将取出
325?C4?A5?7200(个). 的5个数全排列,有A55种排法. 共有符合条件的五位数C514、由于甲和乙都没有得冠军,所以冠军是其余3人中的一个,有A3种可能;乙1不是最差的,所以是第2,3,4名中的一种有A3种可能;上述位置确定后,甲连同
其他2人可任意排列,有A33种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是
113A3?A3?A3?54.
5、等式两边都是两个数相乘,可以想到分步乘法计数原理,于是可得如下分步取组合的方法.
在n个人中选择m个人搞卫生工作,其中k个人擦窗,m?k个人拖地,共有多少种不同的选取人员的方法?
解法1:利用分步计数原理,先从n个人中选m个人,然后从选出的m个人中再
mkCm种不同的选取人员的方法; 选出k个人擦窗,剩余的人拖地,这样有Cn解法2:直接从n个人中选k个人擦窗,然后在剩下的n?k个人中选m?k个人
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人教版A版高中数学选修2-3课后习题解答
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