十种求数列通项公式的方法
一、公式法 例1 已知数列
{an}满足
an?1?2an?3?2n，
a1?2，求数列
{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3an????{}n?1nn?1nnn?1an?1?2an?3?2n22，则222，故数列2是解：两边除以2，得2a1以21?an323?1?(n?1)?1n22，为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得231na?(n?)2n{an}22。 所以数列的通项公式为
an?1an3?n?n?1an?1?2an?3?2222，说明数列评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为
naan3{n}?1?(n?1)2n是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出2n2，进而求出数列{an}的通项公式。
二、累加法 例2 已知数列解：由
{an}满足
an?1?an?2n?1，a1?1an?1?an?2n?1则
，求数列
{an}的通项公式。
an?1?an?2n?1得
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列
{an}的通项公式为
an?n2。
评注：本题解题的关键是把递推关系式出
an?1?an?2n?1转化为
an?1?an?2n?1，进而求
(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列
{an}的通项公式。
例3 已知数列解：由
{an}满足
an?1?an?2?3n?1，a1?3得
，求数列
{an}的通项公式。
an?1?an?2?3n?1an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以
?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3?32?31)?(n?1)?3
an?3n?n?1.评注：本题解题的关键是把递推关系式进而求出
an?1?an?2?3n?1转化为
an?1?an?2?3n?1，即得数列
，
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1{an}的通
项公式。 已知数列
{an}满足
an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列
{an}的通项公式。
an?1an21?n??n?1n?1n?1an?1?3an?2?3n?1333， 解：两边除以3，得3an?1an21?n??n?1n?13333，故 则
ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333?(a2a1a1?1)?2333212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?1333333
1(1?3n?1)nan2(n?1)32n11???1???n31?3322?3n， 因此3211an??n?3n??3n?.322 则
an?1an21?n??n?1n?1an?1?3an?2?3n?1333，评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为3anan?1an?1an?2an?2an?3?)?(?)?(?n?3)?nn?1n?1n?2n?233333进而求出3(?(?an?a2a1a1?n??)?21333，即得数列?3?的通项公式，最后再求数列三、累乘法 例5 已知数列
{an}的通项公式。
{an}满足
an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列
{an}的通项公式。
an?1?2(n?1)5nna?2(n?1)5?an，a1?3a?0an解：因为n?1，所以n，则，故
an?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??2n?1[n(n?1)??3?2所以数列
n?1?3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!an?3?2n?1?3
?5n(n?1)2{an}的通项公式为
?5n(n?1)2?n!.
an?1?2(n?1)5nna?2(n?1)5?ana评注：本题解题的关键是把递推关系n?1转化为n，进而求anan?1??aa出n?1n?2?a3a2??a1{a}a2a1，即得数列n的通项公式。
{an}满足
例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列
a1?1，an?a1?2a2?3a3?解：因为所以
?(n?1)an?1(n?2)，求
{an}的通项公式。
an?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)
①
an?1?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1?nan
②
用②式－①式得则
an?1?an?nan.
an?1?(n?1)an(n?2)an?1?n?1(n?2)a故n
an?所以由
anan?1??an?1an?2?a3?a2?[n(n?1)?a2?(n?1)an?1(n?2)?4?3]a2?n!a2.2
③ ，则
an?a1?2a2?3a3?，
取n?2得a2?a1?2a2a2?a1，又知
a1?1，则
a2?1，代入③得
an?1?3?4?5?n!.2
?n?n!2。
所以，
{an}的通项公式为
an?an?1?n?1(n?2)an?1?(n?1)an(n?2)a评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为n，anan?1??aa进而求出n?1n?2通项公式。
四、待定系数法 例7 已知数列解：设将
?a3?a2n?2时，an{a}a2，从而可得当的表达式，最后再求出数列n的
{an}满足
an?1?2an?3?5n，a1?6
④
，求数列
?an?的通项公式。
an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)代入④式，得
n?1an?1?2an?3?5nn2an?3?5n?x?5n?1?2an?2x?5n，等式两边消去
2an，得3?5?x?5?2x?5n，两边除以5n，得3?5x?2x,则x??1,代入④式得
⑤
an?1?5n?1?2(an?5n)
an?1?5n?1?21nna1?5?6?5?1?0an?5?0{an?5n}a?5n由及⑤式得，则，则数列是以
a1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则
an?5n?2n?1，故
an?2n?1?5n。
，
评注：本题解题的关键是把递推关系式从而可知数列
an?1?2an?3?5n转化为
an?1?5n?1?2(an?5n){an?5n}是等比数列，进而求出数列
{an?5n}的通项公式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
例8 已知数列解：设将
{an}满足
an?1?3an?5?2n?4，a1?1
⑥
，求数列
{an}的通项公式。
an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)代入⑥式，得
an?1?3an?5?2n?43an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)nn(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。 整理得
?5?2x?3x?x?5??4?y?3yy?2，代入⑥式得 ?令，则?an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)由
⑦
a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，
an?1?5?2n?1?2?3nan?5?2n?2?0a?5?2?2得，则n，
故数列因此
{an?5?2n?2}是以
a1?5?21?2?1?12?13，则
为首项，以3为公比的等比数列，
。
转化为
an?5?2n?2?13?3n?1an?13?3n?1?5?2n?2评注：本题解题的关键是把递推关系式
an?1?3an?5?2n?4an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)出数列
，从而可知数列
{an?5?2n?2}是等比数列，进而求
{an?5?2n?2}的通项公式，最后再求数列
{an}的通项公式。 ，求数列 ⑧
例9 已知数列解：设将
{an}满足
an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1{an}的通项公式。
an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)代入⑧式，得
an?1?2an?3n2?4n?52an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则
2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z等式两边消去
2an22(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z， ，得
?3?x?2x?x?3??2x?y?4?2y??y?10?x?y?z?5?2z?z?18?解方程组，则?，代入⑧式，得 an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)由
⑨
a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得
an?3n2?10n?18?0则
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2{an?3n2?10n?18}an?3n2?10n?18，故数列为以
为首项，以2为公比的等比数列，因此
a1?3?12?10?1?18?1?31?32
十种求数列通项公式的方法数列技巧与方法解题方法
