多轴CNC机床运动优化磨齿拓扑修形面齿轮
沈云波1，扶碧波2，刘 玄1
【摘 要】为了求解利用碟形砂轮磨齿加工拓扑修形面齿轮CNC数控机床各轴运动参数的问题，提出一种数控机床各轴运动参数的优化求解方法。依据多轴CNC机床碟形砂轮磨齿加工各轴的运动关系，建立了多轴机床磨齿实际拓扑齿面的数学模型；将机床各轴运动表示为联系参数的6阶多项式函数，以各轴运动函数的多项式系数为优化参数，并以齿面目标偏差与实际偏差的误差最小作为评价函数，建立了各轴运动参数的优化模型；利用迭代最小二乘法对模型进行求解，获得加工拓扑修形齿面各轴的运动规律。通过拓扑修形面齿轮加工优化仿真和磨齿试验，实现了高精度拓扑修形面齿轮的数控磨齿，验证了各轴运动参数优化求解的正确性。 【期刊名称】计算机集成制造系统 【年(卷),期】2017(023)002 【总页数】8
【关键词】运动参数优化；面齿轮；拓扑修形；碟形砂轮；CNC机床
0 引言
面齿轮是与圆柱齿轮构成非平行轴角度传动的一个环形齿轮，具有单级传动比大、主动圆柱齿轮能自由浮动的特点，在直升机分扭—汇扭传动系统和其他齿轮减速装置中有着广泛的应用前景[1]。为了使面齿轮传动齿面上的接触印痕局部化、提高啮合传动性能，齿轮传动常需采用轮齿修形技术，为面齿轮齿面修形的研究提供了应用空间。然而，由于面齿轮数控磨齿加工工艺的复杂性，面齿轮传动修形的研究主要集中在相对简单的圆柱齿轮的齿面修形方面[2-4]，面
齿轮拓扑修形技术则很少受到关注。本文拟利用碟形砂轮数控磨齿工艺，通过迭代最小二乘优化求解各轴的运动参数，以实现面齿轮拓扑修形齿面的加工，并得到预置的接触路径和传动误差。
国内外研究者对螺旋锥齿轮和斜齿轮等复杂齿面误差修正和拓扑修形技术的研究主要有：文献[5]基于六轴Free-Form型数控机床提出一种准双曲面齿轮拓扑修形齿面构造方法，求解了这类齿面加工参数的运动规律；文献[6]基于齿轮的拓扑修形技术，提出端面铣加工弧齿锥齿轮和准双曲面齿轮齿面修形的方法；文献[7]提出基于齿面接触分析 (Tooth Contact Analysis, TCA)和承载接触分析 (Loaded Tooth Contact Analysis, LTCA)技术来优化设计斜齿轮高阶承载传动误差的方法；文献[8]提出在六轴联动的CNC滚齿机床上进行斜齿轮加工过程仿真的通用数学模型，并给出了加工拓扑齿面各轴运动参数的优化方法；张虎等[9]提出运用五轴CNC磨齿机床成形磨齿修形的斜齿轮齿面，来优化机床各轴运动参数并磨齿加工斜齿轮拓扑修形齿面的方法。
面齿轮碟形砂轮磨齿具有磨齿精度高、砂轮修正简单等特点。彭先龙等[10]和Tang等[11]研究了利用多轴数控机床碟形砂轮展成磨齿面齿轮的原理和方法；王延忠等[12-13]和郭辉等[14]利用碟形砂轮在五轴联动数控机床上实现了面齿轮齿面的磨齿加工，从而验证了碟形砂轮磨齿面齿轮的可行性和精确性。 迭代最小二乘法是使用泰勒级数展开式近似地代替非线性回归模型、通过多次迭代修正逼近最佳回归系数的一种方法，具有较快的收敛速度和小的残差量，适用于非线性问题的求解[15]。
因此，本文基于前人的研究工作，运用碟形砂轮数控磨齿面齿轮拓扑齿面的原理，提出用迭代最小二乘法来优化求解五轴CNC机床的运动参数、磨齿加工
面齿轮拓扑修形齿面的方法，并通过试验验证了机床运动参数求解的正确性。本文要解决的关键问题是精确优化求解机床各轴的运动参数，并利用这些参数对实际的拓扑修形齿面进行计算仿真。在此基础上，通过编程实现拓扑修形齿面的高精度加工。
1 碟形砂轮磨削面齿轮的原理
碟形砂轮展成磨齿面齿轮的原理[10-11]如图1所示。图中碟形砂轮绕虚拟插齿刀轴线悬摆的速度ωg与面齿轮的转速ω2之间满足以下关系： (1)
式中：ωs为面齿轮虚拟插齿加工的角速度；Ns和N2分别为虚拟齿轮插刀和面齿轮的齿数。
碟形砂轮的轴截面廓形η与虚拟插齿刀端面齿形s相同，碟形砂轮工作曲面的推导过程如图2所示[11]。在Sg坐标系中，砂轮的工作曲面方程为 rg(θs,ψg)=Mgs(ψg)rs(θs)。 (2)
式中：Mgs(ψg)=Mgt(ψg)Mts为坐标系Ss到坐标系Sg的齐次坐标变换矩阵；rs(θs)=[rsx rsy 0]T表示虚拟插齿刀的端面齿形；ψg为砂轮曲面参数；Eg=rg-rps为砂轮和虚拟插齿刀中心连线的距离；rg为砂轮平均半径。碟形砂轮的工作曲面法矢为
ng(θs,ψg)=Lgs(ψg)ns(θs)。 (3)
式中Lgs(ψg)为Mgs(ψg)删除最后一行和最后一列后的矩阵。
图3给出了碟形砂轮展成面齿轮的坐标转换系统。其中：Sg和S2分别为与碟
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