中考数学圆提高练习题
压轴题训练
集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
《圆》
一、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内； 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外； 二、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；
三、圆与圆的位置关系 r d 外离(图1)? 无交点 ? d?R?r； 外切(图2)? 有一个交点 ? d?R?r； 相交(图3)? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切(图4)? 有一个交点 ? d?R?r； 内含(图5)? 无交点 ? d?R?r；
R 四、垂径定理 d r d=r A B r d O d C r d d R r d R d r R 图3 O E B D r d r 图图R 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 2 1 A 推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 图图C(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 4 5
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理共5个结论，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④弧BC?弧BD ⑤弧
AC?弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
C 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD 五、圆心角定理
E 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①?AOB??DOE；②AB?DE；③OC?OF；④ 弧BA?弧BD 中任意1个条件推出其他3个结论。 六、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；
B
O D B A O F D
A C B C B O A D C B O A C O A
圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 C 即：在△ABC中，∵OC?OA?OB
∴△ABC是直角三角形或?C?90?
B A
O 注：此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。 七、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN?OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线
(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如图) 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
八、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点 和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线 P ∴PA?PB，PO平分?BPA
A B O M O A N
九、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
B ∴O1O2垂直平分AB 十、圆的公切线
A 两圆公切线长的计算公式：
(1)公切线长：Rt?O1O2C中，AB2?CO12?O1O22?CO22；
(2)外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十一、圆内正多边形的计算 (1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，
B C O D A C O2 B O1 A O1 O2 有关计算在Rt?BOD中进行：OD:BD:OB?1:3:2； (2)正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt?OAE中进行，
OE:AE:OA?1:1:2：
B O A E C D (3)正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt?OAB中进行，
AB:OB:OA?1:3:2.
O A O A B S B l
十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
n?R1、扇形：(1)弧长公式：l?；
180n?R21?lR (2)扇形面积公式： S?3602
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