〖研探新知〗
1.辗转相除法:
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。解：8251＝6105×1＋2146;
6105＝2146×2＋1813;2146＝1813×1＋333;1813＝333×5＋148;333＝148×2＋37;148＝37×4＋0.
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0)
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1)
第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2)
……
依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1
即为所求的最大公约数。
练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;
265=53×5+0.
2.更相减损术:
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，
即：98－63＝35;
63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.
所以，98与63的最大公约数是7。
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(12)
1.3算法案例
