课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题
A组——抓牢中档小题
1.若直线l1:mx+y+8=0与l2:4x+(m-5)y+2m=0垂直,则m=________. 解析:∵l1⊥l2,∴4m+(m-5)=0,∴m=1. 答案:1
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y45
=0的距离为,则圆C的方程为____________.
5
解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d=2a45=,解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|=
55
22+(5)2=3,所
以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
x2y2
3.(2019·无锡期末)以双曲线-=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是
54________.
解析:由题可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),双曲线中,c=
5+4=3,所以双曲
p
线的右焦点的坐标为(3,0),则抛物线的焦点坐标为(3,0),所以=3,p=6,所以抛物线
2的标准方程为y2=12x.
答案:y2=12x
4.已知直线l过点P(1,2)且与圆C:x2+y2=2相交于A,B两点,△ABC的面积为1,则直线l的方程为________.
解析:当直线斜率存在时,设直线的方程为y=k(x-1)+2,即kx-y-k+2=0.因为S△
ABC=
11
CA·CB·sin∠ACB=1,所以×2×2×sin∠ACB=1,所以sin∠ACB=1,即∠ACB=22
|-k+2|390°,所以圆心C到直线AB的距离为1,所以=1,解得k=,所以直线方程为3x
4
k2+1-4y+5=0;当直线斜率不存在时,直线方程为x=1,经检验符合题意.综上所述,直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.
答案:3x-4y+5=0或x=1
5.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点,若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A的横坐标的取值范围为________.
解析:由题意知,过点A的两直线与圆M相切时,夹角最大,当∠BAC=60°时,|MA||MB|2===4.设A(x,6-x),所以(x-1)2+(6-x-1)2=16,解得x=1或x=5,sin∠BAMsin 30°
因此点A的横坐标的取值范围为[1,5].
答案:[1,5]
6.(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最小值为________.
解析:圆(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴的对称圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=1,由题意得,|2k-2+3|4圆心(2,-2)到直线kx+y+3=0的距离d=≤1,解得-≤k≤0,所以实数k的
3
k2+14
最小值为-.
3
4
答案:-
3
7.(2019·南京四校联考)已知圆O:x2+y2=1,半径为1的圆M的圆心M在线段CD:y=x-4(m≤x≤n,m<n)上移动,过圆O上一点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,且满足∠APB=60°,则n-m的最小值为________.
解析:设M(a,a-4)(m≤a≤n),则圆M的方程为(x-a)2+(y-a+4)2=1.连接MP,MB,则MB=1,PB⊥MB.因为∠APB= 60°,所以∠MPB=30°,所以MP=2MB=2,所以点P在以M为圆心,2为半径的圆上,连接OM,又点P在圆O上,所以点P为圆x2+y2=1与圆(x-a)2+(y-a+4)2=4的公共点,所以2-1≤OM≤2+1,即1≤
a2+(a-4)2
2??2a-8a+15≥0,2222≤3,得?解得2-≤a≤2+.所以n≥2+,m≤2-,所以n-
2222
?2a2-8a+7≤0,?
m≥2.
答案:2
8.(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆
M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为________.
y0y0
解析:设点P(x0,y0),则直线PA的方程为y=(x+1), 在y轴上的截距为,
x0+1x0+1
5y0
同理可得直线PB在y轴上的截距为-,由直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,得
x0-5
5y0y0-×=5,化简,得(x0-2)2+y20=9(y0≠0),所以点P的轨迹是以C(2,0)为圆心,x0-5x0+13为半径的圆(点A(-1,0),B(5,0)除外),由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点,若A,B均不在圆M上,因此圆心距等于半径之和或差,则或
22+m2=5,解得m=±21;
22+m2=1,无解.若A或B在圆M上,易得m=±3,经检验成立.所以m的值为±21或±3.
答案:±21或±3
x2y2
9.(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近
ab线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________.
解析:由圆x2+y2-6y+5=0,得圆的标准方程为x2+(y-3)2=4,所以圆心C(0,3),x2y2
半径r=2.因为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线bx±ay=0与该圆没有公共点,则圆心到
ab|b×0±a×3|c3
直线的距离应大于半径,即>2,即3a>2c,即e=<,又e>1,故双曲线离心率
a2
b2+a231,?. 的取值范围是??2?31,? 答案:??2?
10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围是________.
?π?2
解析:设∠PCA=θ,θ∈?0,?,所以PQ=22sin θ.又cos θ=,AC∈[3,+∞),
AC?2?所以cos θ∈?0,
?
27?π?2?0,?,sin2θ=1-cos2θ∈?,1?,因为θ∈?0,?,,所以cos2θ∈??9??9?3??2?所以sin θ∈?
答案:?
7??214,22?.
,1,所以PQ∈?3??3?
214?,22 ?3?
11.(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中,已知MN是⊙C:(x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l:x-3y-5=0π
上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,则线段AB长度的最小值是________.
2
解析:因为MN是⊙C:(x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点,所以PC=距离为
2
r=1,点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1.圆心C到直线l:x-3y-5=0的2
π
=10.因为直线l上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,所以ABmin
22
|1-3×2-5|12+(-3)
=210+2.
答案:210+2
12.(2018·苏锡常镇调研)已知直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上.圆C:(x-2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值集合为________.
解析:法一:由AB⊥BP,得点B在以AP为直径的圆D上,所以圆D与圆C相切. 由题意得A(-2,0),C(2,0).若圆D与圆C外切,则DC-DA=2;若圆D与圆Cx2y2
内切,则DA-DC=2.所以圆心D在以A,C为焦点的双曲线-=1上,即14x2-2y2
1722
??y=x+2,35
=7.又点D在直线l上,由?得12x2-8x-15=0,解得xD=或xD=-.所以
26
??14x2-2y2=7,
1
xP=2xD-xA=2xD+2=5或xP=.
3
法二:由题意可得A(-2,0),设P(a,a+2),则AP的中点M?
?a-2a+2?
?,AP=
?2,2?
222
?|a+2|?a-2a+2????
2(a+2)2,故以AP为直径的圆M的方程为?x-?+?y-?=??.由题意得
2??2??2??
圆C与圆M相切(内切和外切),故
|a+2|??a-2?2?a+2?2?1+=,解得a=或a??????2±3?2-2??2??2?
?
?1?
=5.故点P的横坐标的取值集合为?3,5?.
?
?1?
答案:?3,5?
?
?
x2y2
13.已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点.若
ab△FAB的周长最大时,△FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为________.
解析:设直线x=m与x轴交于点H,椭圆的右焦点为F1,由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA+AH)=2(2a-F1A+AH),因为F1A≥AH,故当F1A=AH时,△FAB的周长最bb
c,?,?c,-?,所以△FAB的大,此时直线AB经过右焦点,从而点A,B坐标分别为?a??a??12b212b22
面积为·2c·,由条件得·2c·=ab,即b2+c2=2bc,b=c,从而椭圆的离心率为e=.
2a2a2
答案:
2
2
2
2
14.已知A,B是圆C1:x2+y2=1上的动点,AB=3,P是圆C2:(x-3)2+(y-4)2=―→―→
1上的动点,则|PA+PB|的取值范围为________.
解析:因为A,B是圆C1:x2+y2=1上的动点,AB=3,所以线1―→―→―→
段AB的中点H在圆O:x2+y2=上,且|PA+PB|=2|PH|.因为点P
43―37→
是圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,所以5-≤|PH|≤5+,即≤222―→13―→―→―→
|PH|≤,所以7≤2|PH|≤13,从而|PA+PB|的取值范围是[7,13].
2
答案:[7,13]
B组——力争难度小题
1.(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l:ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A,B,圆O:x2+y2=1上存在点C,使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),则实数a的取值范围为________.
解析:法一:根据题意得,圆O:x2+y2=1上存在点C,使得点C到直线l的距离为1,那么圆心O到直线l的距离不大于2,即围是?-33?. ,33?|4a|1+a2
≤2,解得-
33
≤a≤,于是a的取值范33
?
法二:因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),所以点C在以AB为直径的圆上,记圆心为M,半径为1,且CM⊥直线l,又点C也在圆O:x2+y2=1上,所以C是两圆的
2020年三维 (江苏版)高考二轮复习数学 专题三 解析几何课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题 Word版
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