课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题
A组——抓牢中档小题
1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________． 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1
2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y45
＝0的距离为，则圆C的方程为____________．
5
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a45＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝
55
22＋（5）2＝3，所
以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
x2y2
3．(2019·无锡期末)以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是
54________．
解析：由题可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，双曲线中，c＝
5＋4＝3，所以双曲
p
线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，p＝6，所以抛物线
2的标准方程为y2＝12x.
答案：y2＝12x
4．已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．
解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为S△
ABC＝
11
CA·CB·sin∠ACB＝1，所以×2×2×sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB＝22
|－k＋2|390°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以＝1，解得k＝，所以直线方程为3x
4
k2＋1－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
答案：3x－4y＋5＝0或x＝1
5．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．
解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，|MA||MB|2＝＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，sin∠BAMsin 30°
因此点A的横坐标的取值范围为[1，5]．
答案：[1，5]
6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．
解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得，|2k－2＋3|4圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的
3
k2＋14
最小值为－.
3
4
答案：－
3
7．(2019·南京四校联考)已知圆O：x2＋y2＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m＜n)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为________．
解析：设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.连接MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB.因为∠APB＝ 60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以M为圆心，2为半径的圆上，连接OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤
a2＋（a－4）2
2??2a－8a＋15≥0，2222≤3，得?解得2－≤a≤2＋.所以n≥2＋，m≤2－，所以n－
2222
?2a2－8a＋7≤0，?
m≥2.
答案：2
8．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆
M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
y0y0
解析：设点P(x0，y0)，则直线PA的方程为y＝(x＋1), 在y轴上的截距为，
x0＋1x0＋1
5y0
同理可得直线PB在y轴上的截距为－，由直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，得
x0－5
5y0y0－×＝5，化简，得(x0－2)2＋y20＝9(y0≠0)，所以点P的轨迹是以C(2，0)为圆心，x0－5x0＋13为半径的圆(点A(－1，0)，B(5，0)除外)，由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点，若A，B均不在圆M上，因此圆心距等于半径之和或差，则或
22＋m2＝5，解得m＝±21；
22＋m2＝1，无解．若A或B在圆M上，易得m＝±3，经检验成立．所以m的值为±21或±3.
答案：±21或±3
x2y2
9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近
ab线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，所以圆心C(0，3)，x2y2
半径r＝2.因为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到
ab|b×0±a×3|c3
直线的距离应大于半径，即>2，即3a>2c，即e＝<，又e>1，故双曲线离心率
a2
b2＋a231，?. 的取值范围是??2?31，? 答案：??2?
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．
?π?2
解析：设∠PCA＝θ，θ∈?0，?，所以PQ＝22sin θ.又cos θ＝，AC∈[3，＋∞)，
AC?2?所以cos θ∈?0，
?
27?π?2?0，?，sin2θ＝1－cos2θ∈?，1?，因为θ∈?0，?，，所以cos2θ∈??9??9?3??2?所以sin θ∈?
答案：?
7??214，22?.
，1，所以PQ∈?3??3?
214?，22 ?3?
11．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0π
上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是________．
2
解析：因为MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点，所以PC＝距离为
2
r＝1，点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.圆心C到直线l：x－3y－5＝0的2
π
＝10.因为直线l上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，所以ABmin
22
|1－3×2－5|12＋（－3）
＝210＋2.
答案：210＋2
12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．
解析：法一：由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切． 由题意得A(－2，0)，C(2，0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝2；若圆D与圆Cx2y2
内切，则DA－DC＝2.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线－＝1上，即14x2－2y2
1722
??y＝x＋2，35
＝7.又点D在直线l上，由?得12x2－8x－15＝0，解得xD＝或xD＝－.所以
26
??14x2－2y2＝7，
1
xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.
3
法二：由题意可得A(－2，0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点M?
?a－2a＋2?
?，AP＝
?2，2?
222
?|a＋2|?a－2a＋2????
2（a＋2）2，故以AP为直径的圆M的方程为?x－?＋?y－?＝??.由题意得
2??2??2??
圆C与圆M相切(内切和外切)，故
|a＋2|??a－2?2?a＋2?2?1＋＝，解得a＝或a??????2±3?2－2??2??2?
?
?1?
＝5.故点P的横坐标的取值集合为?3，5?.
?
?1?
答案：?3，5?
?
?
x2y2
13．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若
ab△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．
解析：设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最bb
c，?，?c，－?，所以△FAB的大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为?a??a??12b212b22
面积为·2c·，由条件得·2c·＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝.
2a2a2
答案：
2
2
2
2
14．已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝―→―→
1上的动点，则|PA＋PB|的取值范围为________．
解析：因为A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，所以线1―→―→―→
段AB的中点H在圆O：x2＋y2＝上，且|PA＋PB|＝2|PH|.因为点P
43―37→
是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以5－≤|PH|≤5＋，即≤222―→13―→―→―→
|PH|≤，所以7≤2|PH|≤13，从而|PA＋PB|的取值范围是[7，13]．
2
答案：[7，13]
B组——力争难度小题
1．(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为________．
解析：法一：根据题意得，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离不大于2，即围是?－33?. ，33?|4a|1＋a2
≤2，解得－
33
≤a≤，于是a的取值范33
?
法二：因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以AB为直径的圆上，记圆心为M，半径为1，且CM⊥直线l，又点C也在圆O：x2＋y2＝1上，所以C是两圆的
2020年三维 (江苏版)高考二轮复习数学 专题三 解析几何课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题 Word版
