习题7-1 1
设u?a?b?2c v??a?3b?c 试用a、b、c表示2u?3v
解 2u?3v ?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c) ?2a?2b?4c?3a?9b?3c ?5a?11b?7c
试用向
2 如果平面上一个四边形的对角线互相平分
量证明这是平行四边形 证
???
?AB?OB?OA???
DC?OC?OD
?而 OC??OA?? OD??OB?????
?所以 DC??OA?OB?OB?OA??AB
从而四边形
这说明四边形ABCD的对边AB?CD且AB//CDABCD是平行四边形
3 把ABC的BC边五等分 设分点依次为D1、D2、D3、D4 再把各分点与点A连接 试以AB?c、BC?a表示向量D1A、D2A、
????D3A、D4A???
?? 解 D1A?BA?BD1??c?1a
5??? D2A?BA?BD2??c?2a
5 D3A?BA?BD3??c?3a5??? D4A?BA?BD4??c?4a5??? 2)和M2(1
? 4 已知两点M1(0
?? 1 ?1 0) 试用
坐标表示式表示向量M1M2及?2M1M2?
解 M1M2?(1, ?1, 0)?(0, 1, 2)?(1, ?2, ?2) ?2M1M2??2(1, ?2, ?2)?(?2, 4, 4) 5
求平行于向量a?(6
7
7
解 |a|?62?72?(?6)2?11 平行于向量a?(6
?6)的单位向量为
?6)的单位向量
1a?(6, 7, ?6)或?1a?(?6, ?7, 6)|a|111111|a|111111 6
在空间直角坐标系中
A(1 ?2 3) B(2 D(?2 ?3 1) 解 A在第四卦限第三卦限
3
?4)
C(2
指出下列各点在哪个卦限？
?3
?4) D在
B在第五卦限 C在第八卦限
7 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置 A(3
4
0)
B(0
4
3) C(3 0)
0
0)
D(0
?1
解 在xOy面上 点的坐标为(x y 0) 在yOz面上 点的坐标为(0 y z) 在zOx面上 点的坐标为(x 0 z)
在x轴上 点的坐标为(x 0 0) 在y轴上坐标为(0 y 0) 在z轴上 点的坐标为(0 0 A在xOy面上上
B在yOz面上
C在x轴上
点的 z)
D在y轴
8 求点(a b c)关于(1)各坐标面(3)坐标原点的对称点的坐标
(2)各坐标轴
解 (1)点(a b c)关于xOy面的对称点为(a b ?c) 点(a b c)关于yOz面的对称点为(?a b c) 点(a b c)关于zOx面的对称点为(a ?b c) (2)点(a b c)关于x轴的对称点为(a ?b ?c) 点(a b c)关于y轴的对称点为(?a b ?c) 点(a b c)关于z轴的对称点为(?a ?b c) (3)点(a
b
c)关于坐标原点的对称点为(?a
?b
?c)
9 自点P0(x0 y0垂线 写出各垂足的坐标 z0)分别作各坐标面和各坐标轴的
解 在xOy面、yOz面和zOx面上 垂足的坐标分别为(x0
y0 0)、(0 y0 z0)和(x0 0 z0) 在x轴、y轴和z轴上 垂足的坐标分别为(x0
(0 y0 0)和(0 0 z0)
0
0)
10 过点P0(x0 y0 z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
解 在所作的平行于z轴的直线上 点的坐标为(x0 y0
z) 在所作的平行于xOy面的平面上 点的坐标为(x y
z0)
11 一边长为a的立方体放置在xOy面上 其底面的中心在坐标原点 底面的顶点在x轴和y轴上 求它各顶点的坐标
解 因为底面的对角线的长为2a坐标分别为 (?2a, 0, 0)2 (?2a, 0, a)2(0, 2a, a)
2 12 求点M(4
(2a, 0, 0)2
所以立方体各顶点的
(0, 2a, 0)2
(0, ?2a, 0)2
(2a, 0, a)2(0, ?2a, a)2 ?3 5)到各坐标轴的距离
?3
0
解 点M到x轴的距离就是点(40)之间的距离 即 dx?(?3)2?52?34
?3
点M到y轴的距离就是点(4之间的距 离
即
dy?42?52?41 5)与点(4
5)与点(0 ?3 0)
点M到z轴的距离就是点(4之间的距离 即 dz?42?(?3)2?5 13
在yOz面上
?3 5)与点(0 0 5)
求与三点A(3 1 2)、B(4 ?2
?2)和C(0
5 1)等距离的点
y
则
解 设所求的点为P(0 z)与A、B、C等距离 |PA?|2?32?(y?1)2?(z?2)2 |PB?|2?42?(y?2)2?(z?2)2
|PC?|2?(y?5)2?(z?1)2
由题意
有
|PA?|2?|PB?|2?|PC?|2
即 ?32?(y?1)2?(z?2)2?(y?5)2?(z?1)2??42?(y?2)2?(z?2)2?(y?5)2?(z?1)2 解之得y?1 z??2 故所求点为(0 1 ?2)
14 试证明以三点A(4 1 9)、B(10 ?1C(2 4 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形 解 因为
|AB?|?(10?4)2?(?1?1)2?(6?9)2?7 |AC?|?(2?4)2?(4?1)2?(3?9)2?7
|BC?|?(2?10)2?(4?1)2?(3?6)2?72
所以|BC?|2?|AB?|2?|AC?|2 |AB?|?|AC?| 因此ABC是等腰直角三角形
15
设已知两点M1(4, 2, 1)和M2(3
0
2)
量M?1M2的模、方向余弦和方向角
解 M?1M2?(3?4, 0?2, 2?1)?(?1, 2, 1)
6)、 计算向
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-1名师教学资料
