第 10 讲 最值问题之三角形三边关系
模型讲解
问题：在直线 l 上找一点 P，使得 PA PB 的值最大 解析：连接 AB，并延长与 1 交点即为点 P.
证明：如图，根据△ ABP ' 三边关系， BP ' - AP ' < AB，即 P ' B - P ' A< PB - PA
【例题讲解】
例题 1、如图，∠ MON=90° ，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM ，ON 上，当 B 在边 ON 上运动 时，A 随之在 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 最大距离为 ____________.
AB=2，BC =1，运动过程中，点 D 到点 O 的
【解答】
解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OD、OE、DE，
Q ∠MON =90° ，AB=2
OE=AE=
1
AB=1， 2
AD =BC=1，
DE= 2 ，
2 +1.
Q BC =1，四边形 ABCD 是矩形，
根据三角形的三边关系， OD 2 +1. 【总结】 1、我们如何知道是哪个三角形呢？ 我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条 边为定值，另外一边为需要我们求的那条边” 。 【巩固练习】 1、如图，∠ MON =90° ，边长为 2 的等边三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在边 OM 、ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 ____________. 2、在△ ABC 中，∠ C=90° ，AC =4，BC =2，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是 ___________________. 3、如右图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，两顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，则顶点 D 到原点 O 的距离的最大值和最小值的乘积为 ___________________. 4、如图，平面直角坐标系中，将含 在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm （1）若 OB =6cm. ①求点 C 的坐标； 30° 的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限 . 其斜边两端点 A、B 分别落 ②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点 C 与点 O 的距离的最大值 =_____________cm. 5、如图，抛物线 y ax 2 10 ax c 经过△ ABC 的三个顶点，已知 BC // x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴 上， OA= 3 BC，且 AC=BC. 5 （1）求抛物线的解析式； （2）若 Q 为直线 AB 上一点，点 D 为抛物线与 x 轴的另一个交点，求 | QC- QD| 的取值范围 .
中考培优竞赛专题经典讲义第10讲最值问题之三角形三边关系
