南通市 2020 届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1． 已知集合
【答案】 2． 已知复数 满足
【答案】
3． 某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为
，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 ▲ .
【答案】40
4． 根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为 ▲ ．
【答案】11 5． 已知等差数列
则
的公差 不为 0，且
成等比数列，
a←1 i ←1 While i≤4 a←a+i i ←i+1 End While Print a
的值为 ▲ ．
（第 4 题）
， ，则 ▲ .
，其中 是虚数单位，则 的模为 ▲ .
【答案】1
6． 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为 ▲ .
【答案】 7． 在正三棱柱
【答案】 8． 已知函数
为 ▲ . 【答案】5 9． 已知函数
式
是奇函数．若对于任意的
恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ．
，关于 的不等
．若当
时，函数
取得最大值，则 的最小值
中，
，则三棱锥
的体积为 ▲ .
数学参考答案与评分细则 第 1页（共 16页）
【答案】 10．在平面直角坐标系
中，已知点 A，B 分别在双曲线
的两条渐近线上，且
双曲线 经过线段 AB 的中点．若点 的横坐标为 2，则点 的横坐标为 ▲ ． 【答案】
11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，
地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为
2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生 里氏 6.0 级地震释放出来能量的 ▲ 倍． 【答案】1000
12．已知△ABC 的面积为 3，且
【答案】 13．在平面直角坐标系
A，B 两点．若圆 的集合为 ▲ . 【答案】
中，已知圆
与圆
相交于
．若
，则
的最小值为 ▲ ．
．
上存在点 ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 的值组成
14．已知函数 若关于 的方程 有五个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是 ▲ . 【答案】
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分． 15．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥
分别为
中， 的中点．
数学参考答案与评分细则 第 2页（共 16页）
（第 15 题）
平面 ， ，
求证：（1）AB∥平面
； （2）平面
平面
． 【证】（1）在
中，因为
分别为
的中点，
所以 AB∥DE． 又因为
平面
， 平面
，
所以 AB∥平面 ． （2）因为
平面
，
平面
，
所以 ． 又因为 ，
平面
，
，
所以 平面 ． 因为 平面 ， 所以平面
平面
．
16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，已知 ， ， ．
（1）求 的值； （2）求
的值． 【解】（1）在△ABC 中，因为
， ，
由 ，
得 ． 又
，
， 由正弦定理，得 ， 所以
．
（2）（方法一）由余弦定理，得
，数学参考答案与评分细则 第 3页（共 16页）
…… 3 分
…… 6 分
…… 8 分…… 11 分
…… 14 分
…… 2 分
…… 4 分
…… 6 分 …… 8 分
即 解得 所以
或
，
（舍去）．
． ， 所以 ．
，所以
…… 11 分 …… 14 分 ． …… 8 分
（方法二）在△ABC 中，由条件得 所以 所以
．
由正弦定理，得
，
…… 10 分
所以 ． …… 12 分
所以
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 距离为 ，
中，椭圆
． …… 14 分
的焦距为 ，两条准线间的
分别为椭圆 的左、右顶点．
（1）求椭圆 的标准方程； （2）已知图中四边形
是矩形，且
，点
分别在边
上，
与
相交于第一象限内的点 ． ① 若
分别是
的中点，证明：点 在椭圆 上；
为定值，并求出该定值．
② 若点 在椭圆 上，证明：
【解】（1）设椭圆 的焦距为
，
数学参考答案与评分细则 第 4页（共 16页）
则由题意，得 解得
所以
．
所以椭圆 的标准方程为 ． …… 3 分
）①由已知，得
，
， ， ．
直线
的方程为
，直线
的方程为
联立 解得 即 ． 因为
，
所以点 在椭圆 上． ②（解法一）设 ，
，
则 ， ．
直线
的方程为
，
令 ，得 ．
直线
的方程为
，
令 ，得 ． 所以
． 数学参考答案与评分细则 第 5页（共 16页）
．
…… 6 分…… 8 分
…… 10 分
…… 12 分
…… 14 分
（2
（解法二）设直线 令 设直线 令
，得 的方程为 ，得
的方程为
．
，
．
，
…… 10 分
而 ． …… 12 分
设 ， ，则 ，
所以 所以
18．（本小题满分 16 分）
．
，
…… 14 分
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 的 正三角形 且 六边形徽标 （1）当
绕其中心 逆时针旋转 到三角形 ．顺次连结
．
时，求六边形徽标的面积；
（第 18 题）
，
，得到
O
（2）求六边形徽标的周长的最大值． 【解】连结
，
当正三角形 有
．在正三角形 ，
中， ．
位置时，
，
，
…… 2 分
绕中心 逆时针旋转到正三角形
，
数学参考答案与评分细则 第 6页（共 16页）
，
所以 ≌
≌ ，
≌
≌
，
所以 ，
．
（1）当
时，设六边形徽标的面积为 ，则
．
答：当
时，六边形徽标的面积为
．
（2）设六边形徽标的周长为 ，则
，
． 所以当
，即
时， 取最大值
．
答：六边形徽标的周长的最大值为
．
19．（本小题满分 16 分）
已知数列 满足：
，且当
时， ．（1）若 ，证明：数列 是等差数列；
（2）若
．
① 设
，求数列
的通项公式；
数学参考答案与评分细则 第 7页（共 16页）
…… 4 分
…… 6 分
9 分
…… 11 分
…… 13 分
…… 16 分
……
② 设 ，证明：对于任意的 ，当 时，都有 ．
】（1） 时，由 ，得 所以 ，即 （常数），
所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列． （2）
时， ，
时，
． ①
时，
所以
．
所以 ．
又 ，所以
． 又 ，所以
（常数）．
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以数列 的通项公式为
． ②由①知，
，
．
所以 ，所以 ． 所以
． 当 时， ，所以 ；
数学参考答案与评分细则 第 8页（共 16页）
…… 2 分
…… 4 分
…… 6 分
…… 8 分
…… 10 分
…… 12 分
…… 14 分
【解
当 当 所以若
时， 时，
，所以 ，所以 ，则
； ． ．
…… 16 分
20．（本小题满分 16 分）
设函数 （1）当
时，求函数
的导函数
，其中 为自然对数的底数． 的单调减区间；
有三个零点 ， ，
．
（2）已知函数
① 求 的取值范围； ② 若 ，
【解】（1）
令 所以函数 （2）①
则导函数 又 所以 所以 令
在 ． ，
．
时，
，得
是函数
的两个零点，证明：
，
． ．
，其定义域为 ，
．
，
的单调减区间为
，设
…… 3 分
有三个零点，即函数 ，若
，则
有三个非零的零点．
，
至多有 1 个零点，不符合题意，
…… 5 分
上是减函数，
列表如下：
数学参考答案与评分细则 第 9页（共 16页）
极大值 极小值
所以 即 解得 ． …… 8 分
又 所以 因为当
在
，
上有且只有 1 个非零的零点．
时，
，
，且
，
，
又函数 所以
的图象是连续不间断的， 在
和
．
上各有且只有 1 个非零的零点．
…… 10 分
所以实数 的取值范围是
②（证法一）由 ，得
设 又因为 所以 由①知 因为 所以
或 ，
，所以 ，所以
时，
，且
． ； ．
， ，
，所以 ．
时， ．
，
数学参考答案与评分细则 第 10页（共 16页）
．
所以
成立．
知： ， ，
得： ，又
，故
在 ，即 ，
．
，
…… 14 分 …… 16 分
（证法二）依题设 由①知 由①知 又由 所以 于是 （Ⅰ）
即 （Ⅱ）
即 又 又 所以
，
，故 ，所以 ，得证．
，
，
，又
，
，设 ，所以 ，
上单调递减． …… 12 分
，
，
，所以
；
，
…… 14 分
，即 ．
…… 16 分
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知
，向量
是矩阵
的属于特征值 3 的一个特征向量．
（1）求矩阵 ；
数学参考答案与评分细则 第 11页（共 16页）
（2）若点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点 的坐标．
【解】（1）因为向量 是矩阵 的属于特征值 3 的一个特征向量，
所以 ，即 ，
所以 解得
所以 ． …… 5 分
（2）设 ，则 ，
所以 解得
所以点 的坐标为 ． …… 10 分
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
中，已知直线 的参数方程
（t 为参数），椭圆 C 的
参数方程为 ( 为参数)．求椭圆 C 上的点 到直线 的距离的最大值．
【解】（方法一）直线 的普通方程为
设
，
． …… 2 分
则点 到直线 的距离 当
，即
（
）时，
．
．
． …… 8 分 …… 10 分
（方法二）直线 的普通方程为
数学参考答案与评分细则 第 12页（共 16页）
椭圆 C 的普通方程为 设与直线 平行的直线方程为
．
，
…… 4 分
由 消 ，得 ．
令 所以直线 当
，得 ． …… 8 分
与椭圆 相切．
时，点 到直线 的距离 最大，
．
…… 10 分
C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知
都是正实数，且
；（2）
都是正实数，所以
，所以 都是正实数，
，① ，② ．③
由①+②+③，得 所以 又因为
，所以
，
，得证．
…… 10 分
，
…… 6 分
，即 ． ．
． ，得证．
…… 4 分
证明：（1） 【证】（1）因为
又因为 （2）因为
所以
【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
数学参考答案与评分细则 第 13页（共 16页）
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分 10 分)
如图，在直四棱柱 （1）求二面角 （2）若点 为棱
与平面
【解】在直四棱柱
因为 所以 又
平面 ， ，以
，
中，
的余弦值； 的中点，点 在棱 所成角的正弦值为
中，
（第 22 题）
， ， ．
上，且直线 ，求
的长．
， ．
平面 ，
为正交基底，
．
建立如图所示的空间直角坐标系 由
， ．
（1）
设平面
， 的一个法向量
，得
…… 2 分
，
，
则 即
不妨取 因为 设二面角
，则 平面
， ，所以 ．
．
…… 4 分
，所以平面 的一个法向量为
的平面角的大小为 ，根据图形可知，
数学参考答案与评分细则 第 14页（共 16页）
．
所以二面角 （2）设
又 为 设平面
的余弦值为 ． ，则
． ，
，
，
…… 6 分
的中点，则 的一个法向量
．
由 得
取 设直线
，则 与平面
， ，所以
所成角的大小为 ，
． …… 8 分
则 ，
所以 所以
或 .
（舍去）.
…… 10 分
23．(本小题满分 10 分)
一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只. 现从口袋中先后有放回地取球 （1）当
次
，且每次取 1 只球.
时，求恰好取到 3 次红球的概率；
次取球中取到红球的次数，随机变量
（2）随机变量 表示
求 的数学期望（用 表示）.
【解】（1）当
时，从装有 5 只小球的口袋中有放回的取球 6 次，共有 个基本事件.
个.
记“恰好取到 3 次红球”为事件 ，事件 包含基本事件有 因为上述 个基本事件发生的可能性相同， 故
.
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答：当 时，恰好取到 3 次红球的概率为 . …… 3 分 .
（2）由题意知，随机变量 的所有可能取值为
则
.
.
.
所以
.
令
， ，
则
，
…… 5 分
…… 7 分
.
，
所以 所以
答： 的数学期望为
.
.
.
…… 10 分
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江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学学科参考答案)
