一．选择题（8小题，每小题4分，共32
分）
(1) (A)解：由?lim 0x?0 x2sint2dt2xsinx4?lim2x5知，当且仅当n?6时， ?limn?1n?1xnx?0nxx?0nx 此极限为非零的有限实数，故选 (A).(2) (B).解： (C)，(D)中F(x)在x?0处不连续， (A),(B)中只有(B)符合 F?(x)?f(x)，故选(B).(3) (B).解：由解的形式y?xex?x及方程的右端项，知对应齐次微分方程的 特征方程有二重根r1?r2?1，a?1，其通解为(C1?C2x)e. 又方 程有特解x，于是得 b?1，c??2. 故选 (B). x
(4) (C).2x e?2x?1?解：由f(x)的连续性得a?2，从而 f(0)?lim?2，选(C).x?0x2(5) (D)222解：对 ?(?1)nan，其一般项满足 (?1)nan?an?1，此级数绝对 2nn?1? 收敛，故选(D).(6) (A).解：由x??,?可知 0?cosx?sinx?1，故ln(cosx)?ln(sinx)?0，
43 因此 I2?I1?0，选 (A).??(7) (C).解：积分得 2x2?3x?6y?3y2?0，即 2(x?3)2?3(y?1)2??15，故为双曲
48 柱面，选 (C).(8) (D).?F?F?F?y?y解： 由隐函数求偏导数的公式 ?z???x, ?x??, ???z,?x?F?y?F?z?F?z?x?y
?y得?z??x???1，选(D) .
?x?y?z
二．填空题（6小题，每小题4分，共24分）
(9)1.???解1：f?(1)??(x?1)??12?(x?1)?12?xx?x?1?
???sinx2???lnx?(x?1)?sinx2??lnx???(x?1)?sinx2?lnx?(x?1)???1??x?1??)?f(1)解2：f?(1)?limf(xx?lim12?sinxlnx?1.?1x?1x?1x????(10) (x?1)y .22y36y3yy?zx?1?z解： ??3?ylnx?y, 2?4??2?xxxxx?xx 23y26y?z?z ?2?(x?1)lnx， 2?2?yx?yx226y6y2?z x?z?y??xy?y??(x?1)y.?x2?y2x2x2233(11) 1 .6解： 设 ?f(x)dx?a， 即有 2a?f(x)?x?0，两边从0到1积分得
0 11 2a?a??0， ? a??f(x)dx?1. 026 1(12) 0?a?1 .解：由题设知级数的收敛半径 R???，因此 liman??(n?1)2 故 0?a?1.an2 ?lima2n?1?0，n??(13) xy2sinx?C .解：原方程是全微分方程，可化为 d?xsinx??y2??xsinx?d?y2??0， 即 d?xy2sinx??0，因此所求的通解为 xy2sinx?C，C为任意常数.注：除凑微分法外，也可用线积分、偏积分等方法求解。
(14) 80 .解：积分曲线L分别关于x轴、y轴、直线y?x及 y??x为轴对称，因此 ?xyds?0.LyC(1,1) 又x2?y2关于x与y为轮换对称，故取积分路径 的第一象限中的折线 L1:A(2,0)B(2,1)?C(1,1)B(2,1) ? ?(x2?2xy?y2)ds?8?(x2?y2)dsLL1
O??B(2,1)?A(2,0)x ?8
?.?0(y2?22)dy??1(x2?12)dx?611312?三．解答题
(15)证及解： I??0??0exsin2xcos2xdx??2exsin2xcos2xdx?021?ex1?ex令x??tx220e?tsin2tcos2tesinxcosx ?dx ???? ??dt??2?21?ex1?e?t?2sin2xcos2x ??dx x01?e?2sin2xcos2x?2exsin2xcos2x ? I??dx??dx 001?ex1?ex
?? ???20sin2xcos2xdx......................................................................6分?20?sin2x?sin4x?dx ???3???.................................................................................11分 44416(16)解:方程两边对x求导，整理得 y2y??x2?y??1?0 (*). 令y??0 得两个驻点 x??1. 再在(*)式两边对x求导，得 2y?y??2?y2y???2x?y???0. 在驻点处 y??0，得 1?y2y????2x............................................6分 ? 当 x?1时，y???0；当 x??1时，y???0. 故 x?1 是极大值点，极大值为 y(1)?1, x??1 是极小值点，极小值为 y(?1)?0...............................11分??(17)解:椭球积分区域?与垂直于z轴的平面的交集在xOy面上的 投影为 2y2x Dz:22?22?1, ?t?z?t...........................5分4t?z9t?z???? 固定t?0，用“先二后一”法计算三重积分，得 F(t)??3???zdV?2???dV??3?z2dz??dxdy?2?4?(2t)(3t)t?t3??D2zt ??3?t?tz2??2t2?z23t2?z2dz?16?t3????5?3t ?8????2t3?? ................................................................7分?5? ? F??(t)?96?t(1?t2)，t?0. 令 F??(t)?0得 t?1，F(1)?56?. 5 当 0?t?1时，F??(t)?0；当 t?1时，F??(t)?0. ? (0,1)为曲线凹区间，(1,??)为凸区间，(1,56?)是拐点..........11分
5(18)解：limn??un?1(x)?4n?4?!4?limx?0，un(x)n??(4n)!? 故级数的收敛半径R???，收敛域为(??,??)................4分4nx 设 s(x)?? (???x???), 逐次求导得(4n)!n?04n?14n?24n?3xxx s?(x)?? , s??(x)??, s???(x)??(4n?1)!(4n?2)!n?1n?1n?1(4n?3)!??? s(4)4n?44n(x)??x??x?s(x) ..................................8分n?1(4n?4)!n?0(4n)!?? 解方程 s(4)(x)?s(x)?0，得通解 s(x)?C1ex?C2e?x?C3cosx?C4sinx 将初始条件s(0)?1,s?(0)?s??(0)?s???(0)?0分别代入上式，得到 关于C1,C2,C3与C4的方程组，求得 C1?C2?1,C3?1,C4?0.424n 于是有 s(x)??x?1(ex?e?x)?1cosx (??,??)........11分 2n?0(4n)!4?(19)解：设弧段上的切点为(x0,y0). 由x?yy??0得切线方程23y0 y?y0??23(x?x0)x0?230?230
分别令 x?0和y?0，得到切线在y轴和x轴上的截距2323 y?2y0，x?2x0. 故切线与两坐标轴所围图形的面积为131313131313 S?2?y0x0?.而x0?y0?2.因此当x0?y0?1时，2 即切点为(1,1)时，S取得最大值2..........................................5分 这时所求图形的面积最小，最小面积为 ? 8 0?2?x13?dx?283 ??8x?9x43?18x53?1x2??2?52?0 ?6 ........................................................................10分5
(20)证：令h(x,y)?f(x,y)?g(x,y)，由题设知h(x,y)在闭区域D上连续. 故h(x,y)在D上取得最大值 M?0和最小值m?0. 若M?m，则h(x,y)?0为常值函数，结论显然成立...............................3分 若M?m，因为在D的边界上h(x,y)?0，则M与m之一必不为零， 最大值与最小值之一必在D的内部点 P0(x0,y0)取到，于是 P0(x0,y0)为h(x,y)的极大值点或极小值点..............................................7分 又 h(x,y)的两个偏导数存在，因此在 P0(x0,y0)处， hx(x0,y0)?hy(x0,y0)?0，即有 gradh(P0)?0，也即 gradf(P0)?gradg(P0) ..............................................................10分
(21)解：由题设和高斯公式有 0???xf(y)dydz?yf(x)dzdx?z[b?f(x?y)]dxdyS ??????f(y)?f(x)?b?f(x?y)?dV? 其中?为S所围的有界区域,?1的取值与S的法线方向一致. 即有 f(x?y)?f(x)?f(y)?b x?(??,??).......................5分 于是 f(n)?f(n?1)?f(1)?b?a?b，n?2,3,,2010 ? f(2010)?f(1)?2009(a?b) f(2010)?a?2009(a?b) ?2010a?2009b..............................................10分 由S的任意性，也即?的任意性可知三重积分的被积函数恒为零，
陕西省高等数学竞赛试题答案
