?数?1利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选C。 n?2n?23.幂级数
?1x?1)n的收敛区间为 （ ）
n?03n?1( A.(?1,1) B.(?3,3) C.(?2,4) D.(?4,2) ??n解： 令x?1?t，级数化为
?11n?03n?1tn?3???t??3???收敛区间为(?3,3)，即 n?0x?1?(?3,3)?x?(?4,2)?D。
24. 微分y???3y??2y?e?xcosx特解形式应设为y?? （ ）
A.Cexcosx B.e?x(C1cosx?C2sinx)
C.xe?x(C1cosx?C2sinx) D.x2e?x(C1cosx?C2sinx)
解：?1?i 不是特征方程的特征根，特解应设为e?x(C1cosx?C2sinx)。应选B。
25.设函数y?f(x)是微分方程y???y??e2x的解，且f?(x0)?0，则f(x)在x0处
（ ）
A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D.取最大值 解：有f??(x2x00)?f?(x0)?e?f??(x00)?e2x?0?A 。
得分 评卷人
二、填空题（每题2分，共30分）
26.设f(x)?2x?5，则f[f(x)?1]?_________.
解：f[f(x)?1]?2(f(x)?1)?5?2f(x)?3?2(2x?5)?3?4x?13 。 27.lim2nn??n!?____________.
??2n解：构造级数n?0n!，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件
2nlimn??n!?0。 ?3e4x，x 28.若函数f(x)???0??a在x?0处连续，则a?____________. ?2x?2，x?0解：lima?2;lim(x?0f(x)??0?fx)?3?a?6。 x29.已知曲线y?x2?x?2上点M处的切线平行于直线y?5x?1，则点M的坐标为 ________
解：y??2x?1?5?x?2?y?4?M(2,4)。 30.设f(x)?e2x?1，则 f(2007)(0)?_________ 解：f(n)(x)?2ne2x?1?f(2007)(0)?22007e?1。
31.设??x?3t?1dy?y?2t2?t?1，则dx?__________ t?1解：
dydx?4t?1dy3?dx?1。 t?132. 若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?______，b?_____
解：f?(x)?2ax?b?0?2a?b?0；a?b?2?a??2;b?4。 33.
?f?(x)f(x)dx? _________ 解：
?f?(x)f(x)dx??df(x)f(x)?ln|f(x)|?C。 34．?101?x2dx?_________
解：
?101?x2dx?1?4S圆?4。 35.向量a??3?i?4?j?k?的模|a?|?________
解：|3?i?4?j?k?|?9?16?1?26。
36. 已知平面?1：x?2y?5z?7?0与平面?2：4x?3y?mz?13?0垂直，则
m?______
解：n?,?5};n?1?{1,22?{4,3,m}?4?6?5m?0?m?2。
37.设f(x?y,xy)?x2?y2，则f(x,y)?________
解：f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2xy?f(x,y)?x2?2y。 2 38.已知I??2y20dy?1?yf(x,y)dx，交换积分次序后，则I?_______
解：D???(x,y)|0?y?2,y?x?1?y2??2? ????(x,y)|0?x?2,0?y?x??2?????(x,y)|2?x?1,0?y?1?x2??2?，所以次
?2序交换后为
?2x11?x20dx?0f(x,y)dy??2dx2?0f(x,y)dy。
??39.若级数
?1收敛，则级数n?1u???1?1??nn?1??unun?1?的和为 _______ ?解：S?11??11??11?111n????u?1u?2??????u?2u?3????????u?nu?n?1???u?1u，而limn?1n??u?0，n?1所以S?limS1n??n?u。 140.微分方程y???2y??y?0的通解为________
解：有二重特征根1，故通解为y?Cxx1e?C2xe（C1,C2为任意常数）。
得分 评卷人
三、判断题（每小题2分，共10分）
你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.
41.若数列?xn?单调，则?xn?必收敛. ( )
解：如数列?n?单调，但发散，应为×。
42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则一定不存在??(a,b)，使f?(?)?0. ( )
解：如y?x2在??1,3?满足上述条件，但存在??0?[?1,3]，使得f?(?)?0，应为
×。
43.limx?sinx由洛比达法则1?cosxsinxx??x?sinx??????limx??1?cosx?limx???sinx??1. ( )
1?sinx解：第二步不满足0x?sinx0或??，是错误的，事实上limx??x?sinx?limxx??1?sinx?1。应x为×。
44.0??ln201?e?2xdx?32ln2. ( ) 解：因0?1?e?2x?1，
由定积分保序性知：0??ln22x01?e?dx?ln2?32ln2，应为√。
45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( ) 解：f(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为√。
得分 评卷人
四、计算题（每小题5分，共40分） 46．求limsinx.
x?0?x 解： sinx?sinxlnxlim?0sinxlnxsinxlim?0?xxlim?0?e?ex??x~xelimxlnxx?0?
1limlnx?limxx?0?1?ex????x?0?e?1x2?e?lim?xx?0?e0?1。
47.求函数y?x2?31?x1?x的导数dydx.
解： 两边取自然对数得 ln|y|?2ln|x|?13?ln|1?x|?ln|1?x|?，----（1分）
两边对x求导得：
1yy??21??11?x?3??1?x?1?x??，-------（3分） 即y??y??211?x?3(x?1)??3(x?1)??，------（4分）
故
dydx?x231?x?1?x?2?x?13(x?1)?1?3(x?1)??。-----（5分） 48.求不定积分?[e2x?ln(1?x)]dx.
解：?[e2x?ln(1?x)]dx?12?e2xd(2x)??ln(1?x)dx ----（1分） ?12e2x?xln(1?x)??x1?xdx -----（3分） ?12e2x?xln(1?x)????1??1?1?x??dx--（4分） ?12e2x?xln(1?x)?x?ln(1?x)?C。----（5分） 49.计算定积分
??02?2cos2xdx .
解：因2?2cos2x?2(1?cos2x)?4cos2x，所以
??2?02?2cos2xdx???04cosxdx??02|cosx|dx-----（2分）
??2?2cosxdx?2??0?cosxdx------（4分）
2??2sinx2?2sinx?0??2?2?4。-----（5分）
250.设z?f(exsiny,3x2y)，且f(u,v)为可微函数，求dz.
解：令exsiny?u,3x2y?v ，有z?f(u,v)，利用微分的不变性得
dz?fu?(u,v)du?fv?(u,v)dv?fu?d(exsiny)?fv?d(3x2y)----（3分） ?fxu?(esinydx?excosydy)?fv?(6xydx?3x2dy)------（4分） ?(exsinyf2u??6xyfv?)dx?(excosyfu??3xfv?)dy---（5分）
51．计算
??x2dxdy，其中D为圆环区域：1?x2?y2?4. D解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x2?y2?1、x2?y2?4用极坐标表示分别为r?1，r?2；故积分区域D在极坐标系系下为
?y
(r,?)|0???2?,1?r?2?，----（2分）
r?2 故
??x2dxdy?2??2r?1 D?0d?1r2cos2??rdr----（3分） o x
2??2?cos2?d??22?r4201r3dr??04cos?d? 1?154?2?0cos2?d??158?2?图07-1
02cos2?d?---（4分） ?158?2?0(1?cos2?)d??1512?15?8(??2sin2?)?。---（5分） 0452．将
2x4?x2展开为x的幂级数，并写出收敛区间. 解： 因
2x14?x2?12?x?12?x??1；---（2分）
2(1?x2)2(1?x2)1?1?x??xnx?(?1,1)。
n?0所以
1?nx?(?2,2)；1?n??x?x?(?2,2)。--（3分）
1?x????x??2?n?0?21?x????2?n?0?22x1nn???x?1??故???????x??1?(?1)n?4?x22?????2,2)--（4分）
n?0?2?2n?0?2??n?0??2n?1?n?xx?(????1?12,2)。--（5分）
n?022n?1x2nx?(?53．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解.
解：方程可化为y??1?2xx2y?1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分） 1它对应的齐次方程y??1?2xy?0的通解为y?Cx2exx2，---（2分） 11设原方程有通解y?C(x)x2ex，代入方程得C?(x)x2ex?1，
1即 C?(x)?1x2e?x，--（3分） 11所以 C(x)??1?x?x2edx?ex?C，---（4分）
1故所求方程的通解为y?Cx2ex?x2。---（5分）
得分 评卷人
五、应用题（每题7分，共计14分）
54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为
V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？
解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为Vxy，又设造价为z，---（1分）
由题意可得
z?axy?2b(x?y)Vxy?axy?2bV2bVy?x(x?0,y?0)；---（3分）
而
?z?x?ay?2bV?zx2;?y?ax?2bVy2;在定义域内都有意义. ???z2bV令???x?ay?x2?0??z得唯一驻点x?y?32bV，-----（5分）
???y?ax?2bVy2?0a由题可知造价一定在内部存在最小值，故x?y?32bVa就是使造价最小的取值，此时高为3aV
22b
。
所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为32bVa、32bVaV2a、32b时，工程
造价最低。---（7分）
55. 设平面图形D由曲线y?ex,直线y?e及y轴所围成.求： （1）平面图形D的面积;
y
y?ex
(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积. e 解：平面图形D如图07-2所示：---（1分）
取x为积分变量，且x?[0,1]
1 x （1）平面图形D的面积为
o 1 S??10(e?ex)dx----（3分）
图07-2 ?(ex?ex)10?1。----（4分）
（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成 旋转体的体积为
V1y?2??0x?e?ex?dx?2?e?1xdx?2??100xexdx
x2?2?e210?2??xdex??e?2?xex?2??exdx
00010111??e?2?e?2?ex??(e?2)。-----（7分）
22e或Vy??(lny)dy??(lny)y??2lnydy
111?e?e??e?2??lnydy??e?2?ylny1?2??dy
11eee??e?2?e?2?(e?1)??(e?2)。
得分 评卷人
56.若f?(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，对于满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，证明恒有
六、证明题（6分）
m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1).
证明： 因f?(x)在[x1,x2]有意义，从而f(x)在[x1,x2]上连续且可导，即f(x)在
[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，-----（2分）
故存在??(x1,x2)，使得
f(x2)?f(x1)?f?(?)，----（3分）
x2?x1又因f?(x)在[a,b]上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f?(x)在[a,b]上既有最大值又有最小值，不妨设m,M分别是最小值和最大值，从而x?(a,b)时，有
m?f?(x)?M。------（5分）
即 m?f(x2)?f(x1)?M，
x2?x1故 m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)。---（6分）
河南专升本高等数学英语考试知识点归类及历年试题
