考试知识点归类及串讲
（一）单项选择题 一、函数部分
1. 定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）
2如：设函数f(x)????ln(x?1),1?x?2，则f(x)??9?x2的定义域为（）
,2?x?3A 1?x?3 B 1?x?3 C 1?x?2或2?x?3 Dx?1或x?3 函数y?9?x2?arcsin(2x?5)定义域
已知f(2x?1)的定义域为[0,1],则f(x)的定义域为（） A [1/2,1] B [-1,1] C[0,1] D [-1,2] 设f(1?x2)的定义域为?1,5?，则f(x)的定义域为________
下列函数相等的是 A y?1,y?x B y?(x2x?4),y?x?2x?2 C y?x,y?cos(arccosx) D
y?x2,y?|x|
函数y?(4x?3)2（x?0）的反函数是________ 2.函数的性质??函数图像的对称轴（复合函数的奇偶性）
?函数的有界性如：f(x)?ln1?x1?x（(?1,1)内奇函数？） 已知f(x)不是常数函数，定义域为[?a,a]，则g(x)?f(x)?f(?x)一定是____。 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D既奇又偶函数
下列函数中为奇函数的是_________。 A f(x)?ex?e?x2sin2x B f(x)?xtanx?cosx C f(x)?ln(x?x2?1) D f(x)?x1?x 3.函数的表达式、函数值（填空）
如：设f(x)为(??,??)上的奇函数，且满足f(1)?a,f(x?2)?f(x)?f(2)，则
f(2)?_________
二、重要极限部分
1lim(1?W)W?0?1, lim(11W???W)WW?1 limsin3x?3；lim(1?2)x?e2，1x1x?0xx??xxlim???(1?x)?xlim???(1?)x(1?1)x1xx?e?1??1
三、无穷小量部分
1.无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小 2.无穷小量（大量）的选择
3.无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶）
如 n??时与sin31n等价无穷小量是（） 如 设f(x)??sinx30t2dt,g(x)?x?x4,则当x?0时，f(x)是比g(x)的（）
x?0时，无穷小量2x?3x?2是x的（） x?0时，1?x?1?x是x2的（）
4.无穷小量的等价替代 四、间断点部分
1. 第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点） 2. 第Ⅱ类间断点（无穷间断点） 如 点x?0是函数y?ex?1x的（）
?函数f(x)??1?ex?1,x?0则x?0是（）
??ln(1?x),?1?x?0?若f(x)???cosx?xsin1x,x?0则x?0是f(x)的（） ??ex?1,x?0五、极限的局部性部分 1.极限存在充要条件
2.若limx?xf(x)?A?0(?0),则存在x0的一个邻域U(x0,?)，使得该邻域内的任意点x，
0有f(x)?0(?0)
如 f(x)在点x?x0处有定义，是当x?x0时，f(x)有极限的（）条件 若f(1)?0，limf(x)x?1(x?1)2?2，则f(x)在x?1处（）（填 取得极小值）
六、函数的连续性部分
?11.连续的定义 如设f(x)???(1?x)x,x?0在点x?0处连续，则k?（）
??k,x?0?设函数f(x)??1?xsinx,x?0在???,???内处处连续，则a=________.
??a,x?02.闭区间连续函数性质：
零点定理（方程f(x)?0根存在及个数）
如 方程x4?x?1?0，至少有一个根的区间是 ( ) (A)(0,1) (B)(122,1) (C) (2,3)(D)(1,2) 最大值及最小值定理
如设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内（） A 必有最大值或最小值 B 既有最大值又有最小值 C 既有极大值又有极小值 D 至少存在一点使得f?(?)?0 七、导数定义
limf(x?W)?f(x)W?f?(x),limf(x)?f(x0)W?0x?xx?x?f?(x00)
0如 f(x)在点x?1可导，且取得极小值，则limf(1?2x)?f(1)x?0x?
设 f(1)?0，且极限limf(x)存在，则f(x)x?1x?1limx?12x?2?
设函数f(x)??x1(3t2?sint)dt,则limf(x?h)?f(x)h?0h?
设f?(a)?3，则limf(a)?f(a?h)h?0h?________. 已知f?(3)?6,则limf(3?h)?f(3)h?02h?________. 求高阶导数（几个重要公式）
(1(n)(?1)nn!?x?c)?(x?c)n?1；(sinx)(n)?sin(x?2n) 如 设y?1?x1?x，则 y?n?? (A) 2?n!1?1?x?n(B) n!1?1?x?n?1C) ??1?n2?n!11?1?x?n?1 (D)2?n!?1?x?n?1 八、极值部分
极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）
如 函数y?f(x)在点x?x0处取得极大值，则必有（）f?(x0)?0或不存在
设函数y?f(x)满足f??(x)?xf?(x)?1?ex，若f?(x0)?0，则有（）
设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解，若f(x0)?0,且f?(x0)?0,则函数在
x0有极（）值
设函数f(x)满足f?(x)?3?ex，若f?(x0)?0,则有（）f(x0)是f(x)的极大值
九、单调、凹凸区间部分
f?(x)?0，函数在相应区间内单调增加；f??(x)?0，则区间是上凹的
如 曲线y?xe?x?3x?1的上凹区间为（）(2,??)
曲线y?x4?24x2?6x的下凹区间为（） 十、渐近线
水平渐近线limx??f(x)?A,y?A为水平渐近线；limx?xf(x)??，x?x0为垂直渐近线
0如 函数y?lnxx?2的垂直渐近线的方程为____ 曲线y?exx3?1的水平渐近线为
_______.
y?ex曲线1x 既有水平又有垂直渐近线？ 曲线y?x?x2的铅锤渐近线是
_________.
十一、单调性应用
设f(a)?g(a)，且当x?a时，f?(x)?g?(x)，则当x?a必有（）
已知函数f?x?在区间?1??,1???内具有二阶导数，f??x?严格单调减少，且
f?1??f??1??1，则 有 (A) 在?1??,1?和?1,1???内均有f?x??x (B)在?1??,1?和
?1,1???内均有f?x??x(C) 在?1??,1?内f?x??x，在?1,1???内f?x??x (D)在?1??,1?内f?x??x，在?1,1???内f?x??x
十二、中值定理条件、结论、导数方程的根
如 函数f(x)?x3?2x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的?为（） 设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)，则f?(x)?0实根个数为（）
设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内f??(x)?0，则在(a,b)内等式
f?(?)?f(b)?f(a)b?a成立的?_________ A 存在 B不存在 C 惟一D 不能断定存在
十三、切线、法线方程
如 曲线??y?sin2t在?x?costt??4处的法线方程为（）
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则曲线y?f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线（）（至少存在一条） 十四、不定积分部分
1. 不定积分概念（原函数）如 F(x),G(x)都是区间I内的函数f(x)的原函数，则
F(x)?G(x)?C
2. 被积函数抽象的换元、分部积分
如 设lnf(t)?cost,
则?tf?(t)f(t)dt?lnf(t)t??lnf(t)dt?tcost??costdt?tcost?sint?c 若f(x)?ex，则
?f?(lnx)xdx?f(lnx)?c?elnx?c?x?c 设f(x)连续且不等于零，若
?f(x)dx?arctanx?c，
则
?dxf(x)??(1?x)dx?x?x323?c 若f?(ex)?1?x,则 f(x)?
令t?ex,x?lnt?f?(t)?1?lnt，即f?(x)?1?lnx，故f(x)?xlnx?c
十五、定积分部分
?b0. 定积分的平均值：
af(x)dxb?a（填空）
1. 变上限积分 如设f(x)??x0sin(t?x)dt 求f?(x)（知道即可）
令u?t?x,f(x)??0?xsinudu?f?(x)??sinx
2. 定积分等式变形等
若f(x)为连续函数，则
?1?0f(x)dx??20f(sinx)cosxdx
设f(x)在[?2,2]上连续，则?1?1[f(2x)?f(?2x)]dx
令t?2x,?1(?2x)]dx??22?1[f(2x)?f?2[f(t)?f(?t)]1/2dt??0[[f(t)?f(?t)]]dt
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则
?bbaf(x)dx??af(t)dt?()
?10|x(2x?1)|dx
十六 广义积分部分 1.无穷限广义积分 如 广义积分
???dx??11112x2?x?2??23[x?1?x?2]dx?3ln|x?1x?2||??2 2. 暇积分（无界函数的积分，知道即可）
?110111?1xdx???1xdx??0xdx 而?110xdx?lnx|10不存在，不收敛 十七、空间解析几何部分
1. 方程所表示的曲面
注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别
如 方程：x2?y2?z?0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面 在空间直角坐标系下，方程x2?4(y?1)2?0表示（）
x??2(y?1)两条直线，所以两个平面
方程x2?y2?z2?0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面 2. 直线与直线、直线与平面等位置关系
直线??x?2y?z?5?00与直线x?1y?2x?y?z?6??3??03?z?25的位置关系（）不平行也不垂直 4443. 数量积、向量积概念
已知|ar|?1,|br|?5,ar?br?3,|ar?br|?|ar||br|sin??545?4
4. 投影曲线方程
空间曲线C：???z?x2?y2在??z?2?(x2?y2)xoy平面上的投影曲线方程_______________ 十八、全微分概念
1.偏导数概念
设 f(x,y)在点（a, b）处有偏导数存在， 则有 limf(a?h,b)?f(a?h,b)f(a?h,b)?f(a,b)?f(a,b)?f(ah?0h?lim?h,b)h?0h?f,b)?limf(a?h,b)?f(a,b)x?(ah?0h?2fx?(a,b)
设函数z?x2ln(x2?y2),则?z?x22y?yx2?y2 2.全微分
设z?exy?3ln(x?y),则dz|(1,2)
dz?(yexy?3)dx?(xexy?3)dy?dz|2x?yx?y(1,2)?(2e2?1)dx?(e?1)dy 十九、二元极值部分
0. 极限连续 1. 驻点 2. 极值点 要使函数f(x,y)?2?x2?y2?4x2?y2在点?0,0?处连续，应补充定义f(0,0)?____。
A 0 B 4 C
14 D ?14 二元函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2,则(2,?2)是（）极大值点 二十、二重积分部分
1. 交换积分次序 设I??4x0dx?2xf(x,y)dy,交换积分次序后，I??4dy?y0y2f(x,y)dx,
4 积分区域 注意，先画出草图 2. 化为极坐标形式 y2?把积分
?aa0dy?a2?0f(x,y)dx化为极坐标形式为（）?20d??0f(rcos?,rsin?)rdr
积分区域 也是应先画出草图
设f(x,y)在D上连续，则??x[??f(x,y)d?]?________
DA
???fD?xd? B??f(x,y)d? C 0 D f(x,y) D二十一、曲线积分部分（一个选择题）
1. 对弧长曲线积分2.对坐标的曲线积分
设L为抛物线x?1?y2?2y上从点A(1,0)到点B(1,2)的一段弧，?yL(e?x)dx?(xey?2y)dy??20(ey?2y)dy?e2?5
注意1. 与路径无关的条件即
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy中有Py??Q?x； 格林公式 2. 下限对应于起点参数
L是圆弧：x?acost,y?asint,a?0,0?t??2,
?则
?Lxyds??20acostasinta2dt?a31/2
注意：下限一定小于上限参数
二十二、级数部分
1. 收敛性问题（绝对还是条件）：常数项级数；幂级数在某点收敛 2. 幂级数和函数问题
注意几个函数展开式公式（看教材：六个重要公式） 如 级数
??ann(x?1)在x??1处收敛，则此级数在x?2处（）绝对收敛
n?1?如 幂级数?2nxn的和函数为（）e2x?1、
n?1n!必要条件 已知级数??ln(n!)ln(n!)sin(n3)? n?1n3收敛，则limn??n3若
??1发散，则a的取值范围是_______？ n?11?an二十三、微分方程部分
1. 通解问题（一阶可分离、齐次、线性等） 2. 特解问题（二阶常系数非齐次方程）
函数y?Ccos（xC为任意常数）是微分方程y???y?0的（）
把y代入y???y?0成立，但只有一个独立常数，只能说明是解
设函数y?f(x)是微分方程y???2y??4y?0的一个解，且f(x0)?0,f?(x0)?0，则
则
f(x)在点x0处（）有极大值
河南专升本高等数学英语考试知识点归类及历年试题
