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第2课时 解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中,用方程的观点来研究曲线,体现了用代数的方法解决几何问题的优越性,但有时运算量过大,或需繁杂的讨论,这些都会影响解题的速度,甚至会中止解题的过程,达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中,在规定的时间内,保质保量完成解题的任务,计算能力是一个重要的方面．因此,本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧,合理简化解题过程,优化思维过程,达到快准解题．
回归定义,以逸待劳 回归定义的实质是重新审视概念,并用相应的概念解决问题,是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点,又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题,若能根据已知条件,巧妙灵活应用定义,往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
x22
[典例] 如图,F1,F2是椭圆C1:＋y＝1与双曲线C2的公共焦
4点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
A.2 3C. 2
B.3 D.6 2
[解题观摩] 由已知,得F1(－3,0),F2(3,0), 设双曲线C2的实半轴长为a, 由椭圆及双曲线的定义和已知, |AF|＋|AF|＝4??|AF|－|AF|＝2a可得???|AF|＋|AF|＝12
1
2
21
1
2
22
解得a2＝2,
故a＝2.所以双曲线C2的离心率e＝[答案] D [题后悟通]
36
＝. 22
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|,|AF2|的等量关系,从而快速求出双曲线实半轴长a的值,进而求出双曲线的离心率,大大降低了运算量．
[针对训练]
1.如图,设抛物线y2＝4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△
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ACF的面积之比是( )
|BF|－1A. |AF|－1|BF|2－1B. |AF|2－1|BF|＋1C. |AF|＋1|BF|2＋1D. |AF|2＋1
p
2|BF|－1S△BCF|BC|xB
解析:选A 由题可得＝＝＝＝,故选A.
p|AF|－1S△ACF|AC|xA
|AF|－
2
|BF|－
|PF|
2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F,点P为该抛物线上的动点,若点A(－m,0),则的
|PA|最小值为________．
解析:设点P的坐标为(xP,yP),由抛物线的定义,知|PF|＝xP＋m,
2
又|PA|2＝(xP＋m)2＋y2P＝(xP＋m)＋4mxP,
?xP＋m?|PF|?2则?＝?|PA|??xP＋m?2＋4mxP＝号),
|PF|2所以≥,
|PA|2
|PF|2所以的最小值为.
|PA|2答案:
2
2
2
111
≥＝(当且仅当xP＝m时取等4mxP4mxP21＋1＋?xP＋m?2?2xP·m?2
设而不求,金蝉脱壳
设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．
x2y2
[典例] 已知椭圆E:2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两
ab点．若AB的中点坐标为(1,－1),则E的标准方程为( )
x2y2x2y2
A.＋＝1 B.＋＝1 45363627
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x2y2x2y2
C.＋＝1 D.＋＝1 2718189[解题观摩] 设A(x1,y1),B(x2,y2),
??则x＋x＝2,y＋y＝－2,?xy
??a＋b＝1
1
2
1
2
2
22
222
x2y211
2＋2＝1ab
①
②
?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?
①－②得＋＝0,
a2b2y1－y2b2?x1＋x2?b2
所以kAB＝＝－2＝.
x1－x2a?y1＋y2?a20＋11b21
又kAB＝＝,所以2＝. a23－12又9＝c2＝a2－b2, 解得b2＝9,a2＝18,
x2y2
所以椭圆E的方程为＋＝1.
189[答案] D [题后悟通]
(1)本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题．
(2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时,需要做到:①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．
[针对训练]
x2y2
1．已知O为坐标原点,F是椭圆C:2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点,A,B分别为C的左、右
ab顶点．P为C上一点,且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
1A. 32C. 3
1B. 23D. 4
解析:选A 设OE的中点为G,由题意设直线l的方程为y＝k(x＋a),分别令x＝－c与x1ka2|OG||OB|ac
＝0得|FM|＝k(a－c),|OE|＝ka,由△OBG∽△FBM,得＝,即＝,整理得a
|FM||FB|k?a－c?a＋c11
＝,所以椭圆C的离心率e＝,故选A. 33
高考数学一轮复习讲义 第9章 第8节 第2课时 解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这1难题
