模量E为已知。
? P P (a)
x l (b) dxq q
解 此时弹性杆的受力图如图（b）所示。弹性杆因为无限长，所以只有伸长部分有滑动摩擦力，不伸长部分没有摩擦力。设伸长部分长度为l，单位长度摩擦力fq?qf。伸长段内x截面处的轴力为 N(x)?P?qfx 平衡方程 ：
?X?0,qfl?P?0
p qf所以 l?dx微段的伸长量为d(?l)?l长度伸长了?，所以
N(x)dx EA(P?qfx)dxP?qfl2/2P2?l????d(?l)????
00EAEA2qfEAll即 P?2?qfEA
析 轴向拉伸的杆件，只要截面上有轴力，其相邻微段上就有伸长量，所以只有轴力为零时，才不伸长。伸长所引起的摩擦是滑动摩擦，单位长度摩擦力fq?qf。同时伸长段的轴力是x的一次式，而不是常数。所以应先求dx微段的伸长，然后积分求出伸长段的伸
长量，最后解出拉力P值。
12、已知混凝土的容重?=22kN/m，许用压应力????2MPa。试按强度条件确定图
3示混凝土柱所需的横截面面积A1和A2。混凝土的弹性模量E=20GPa。并求柱顶A的位移。
P=1000kN A A A1 C A2 12m C 12m B x B 解 如右图，AC段：FN?P??A1x FNmax?P??Al1?(1000?240A1)kN ?max?2得 A1?0.58m
FNmax1000??264(kPa)???? A1A1 BC段：
FNmax?P??Al1??A2lFNmax?(P??Al1??A2l?1000?152.1?264A2)kN
?max?FNmax1152.1?(?264)kPa???? A2A22得 A2?0.66m
13、图示一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm，BD杆为8号槽钢，两杆的弹性模量E均为20GPa，试求托架B点的位移。设F=50kN。
C 3m B 4m ? B1B2FN2 B? D (a) F ?FN1 (b) B F B B2
B3 B1 ? ?B4
(c)
B3
解 B点在力F作用下产生位移，是由于BC杆，BD杆的变形引起的。F力作用后，两杆均有轴力产生，使其伸长或缩短，而B、C、D点均为铰链。变形后的结构C、D点不动，
B点在加载过程中将绕C点和D点转动到新的节点位置。即，将节点B假象拆开，变形后为
BC为B2C，BD为B1D，两杆分别绕点C,D作圆弧，两弧交点为新节点，由于是小变形，
一般采用用切线代替弧线的方法求变形，即分别过B2、B1点作BC杆垂线和BD杆垂线，用两垂线交点点B代替新节点B?，这样一来就容易求出点B的位移BB3。 (1)求各杆的内力。截面法取分离体的平衡（图（b））由平衡方程
?F?Fx?0得FN1cos??FN2 ?0得FN1sin??F
5F?62.5kN(?) 43?F?37.5kN(?) 4y解得 FN1? FN2（2）求各杆的变形。
BD杆面积查表得A1?10.248cm2?10.248?10?4m2 BC杆面积 A2??d24??4?202?10?6m2
由胡克定律求得两杆的变形为
62.5?103?5 BB1??l1???1.525?10?3m 9?4EA1200?10?10.248?10FN2l237.5?103?3?3 BB2??l2???1.791?10m 9?6EA2200?10?314?10?l1为缩短变形，?l2为伸长变形
（3）B点位移
先用解析发求位移的两个分量，由图（c）可看出，两个位移分量在每个杆上的投影和即为敢杆的变形，即
FN1l1BB2??l2
BB4sin??B3B4cos???l1
故BB2??Bx??l2?1.791?10?3m?1.791mm
?l1??l2cos?1.525?1.791?10?3?35 BB4??By???3.25?10?3m?3.25mm
sin?45B点位移BB3?
BB2?BB4?3.71mm
2214、两根不同的实心截面杆在B出焊接在一起，弹性模量均为E=200GPa，受力和尺寸均标在图中。试求： 1 画轴力图；
2 各段杆横截面上的工作应力； 3 杆的轴向变形总量。
?38 55kN 50kN A 55kN 900 B 12250kN
?65 C 5kN
解 1 假设各段轴力均为拉力 对于AB段：水平方向上列平衡方程
?Fx?0 FN1?50?0
得FN1?50kN（拉）
对于BC段：水平方向上列平衡方程
?Fx?0 FN2?55?50?0
得FN2??5kN（压） 轴力图如右图所示。 2 ?ABFN150?103???0.044?109Pa?44MPa（拉应力） 2?6A1??38?104FN5?1039???0.0015?10Pa?1.5MPa（压应力） 2?6A2??65?10450?103?900?10?3?0.198?10?3m?0.198mm（伸长） 2?6??38?10200?109?45?103?1220?10?3?0.0092?10?3m?0.0092mm（缩短） 2?6??65?10200?109?4 ?BCFl3 ?l1?N11?EA1Fl ?l2?N22?EA2?l??l1??l2?0.189mm（伸长）
15、有甲乙丙三种材料，其拉伸应力—应变试验曲线如图所示，指出： （1）那种材料的弹性模量E大？ （2）那种材料强度高？ （3）那种材料的塑性好？
? 乙 甲 丙 O 解：（1）弹性阶段，?—?直线段斜率越大，弹性模量就越小；直线段斜率越小，弹性模量就越大。因此，从图中可以看出，丙曲线的直线段的斜率最小，其弹性模量最大。 （2）?—?曲线对应的屈服极限越大，材料的强度就越高。从图中可以看出，甲的屈服极限最大，其强度也最高。
（3）当进入强化阶段后，?增加相同量，?值减小越多，材料塑性就越好，从图中可看出丙材料的塑性好一些。
16、某拉伸试验机的结构示意图如图所示，设试验机的CD杆与试件AB的材料相同为低碳钢，其?p?200MPa，?s?240MPa，?b?400MPa。试验机最大拉力为100kN。 （1）用这一试验机做拉断实验时，试样直径最大可达多大？
（2）若设计时取试验机的安全因素为n=2，则杆的横截面面积为多少？
（3）若试样直径d=10mm，今欲测弹性模量，则所加载荷最大不能超过多少？
? D C B
A
解 （1）工作状态下，杆CD和试件AB承受相同的轴向拉力，其最大值为P=100kN，在做拉断实验时，为确保试件断裂，CD杆能安全工作，则要求试件的应力应先于CD杆达到
轴向拉伸与压缩习题及解答1
