模量E为已知。
? P P (a)
x l (b) dxq q
解 此时弹性杆的受力图如图(b)所示。弹性杆因为无限长,所以只有伸长部分有滑动摩擦力,不伸长部分没有摩擦力。设伸长部分长度为l,单位长度摩擦力fq?qf。伸长段内x截面处的轴力为 N(x)?P?qfx 平衡方程 :
?X?0,qfl?P?0
p qf所以 l?dx微段的伸长量为d(?l)?l长度伸长了?,所以
N(x)dx EA(P?qfx)dxP?qfl2/2P2?l????d(?l)????
00EAEA2qfEAll即 P?2?qfEA
析 轴向拉伸的杆件,只要截面上有轴力,其相邻微段上就有伸长量,所以只有轴力为零时,才不伸长。伸长所引起的摩擦是滑动摩擦,单位长度摩擦力fq?qf。同时伸长段的轴力是x的一次式,而不是常数。所以应先求dx微段的伸长,然后积分求出伸长段的伸
长量,最后解出拉力P值。
12、已知混凝土的容重?=22kN/m,许用压应力????2MPa。试按强度条件确定图
3示混凝土柱所需的横截面面积A1和A2。混凝土的弹性模量E=20GPa。并求柱顶A的位移。
P=1000kN A A A1 C A2 12m C 12m B x B 解 如右图,AC段:FN?P??A1x FNmax?P??Al1?(1000?240A1)kN ?max?2得 A1?0.58m
FNmax1000??264(kPa)???? A1A1 BC段:
FNmax?P??Al1??A2lFNmax?(P??Al1??A2l?1000?152.1?264A2)kN
?max?FNmax1152.1?(?264)kPa???? A2A22得 A2?0.66m
13、图示一简单托架,BC杆为圆钢,横截面直径d=20mm,BD杆为8号槽钢,两杆的弹性模量E均为20GPa,试求托架B点的位移。设F=50kN。
C 3m B 4m ? B1B2FN2 B? D (a) F ?FN1 (b) B F B B2
B3 B1 ? ?B4
(c)
B3
解 B点在力F作用下产生位移,是由于BC杆,BD杆的变形引起的。F力作用后,两杆均有轴力产生,使其伸长或缩短,而B、C、D点均为铰链。变形后的结构C、D点不动,
B点在加载过程中将绕C点和D点转动到新的节点位置。即,将节点B假象拆开,变形后为
BC为B2C,BD为B1D,两杆分别绕点C,D作圆弧,两弧交点为新节点,由于是小变形,
一般采用用切线代替弧线的方法求变形,即分别过B2、B1点作BC杆垂线和BD杆垂线,用两垂线交点点B代替新节点B?,这样一来就容易求出点B的位移BB3。 (1)求各杆的内力。截面法取分离体的平衡(图(b))由平衡方程
?F?Fx?0得FN1cos??FN2 ?0得FN1sin??F
5F?62.5kN(?) 43?F?37.5kN(?) 4y解得 FN1? FN2(2)求各杆的变形。
BD杆面积查表得A1?10.248cm2?10.248?10?4m2 BC杆面积 A2??d24??4?202?10?6m2
由胡克定律求得两杆的变形为
62.5?103?5 BB1??l1???1.525?10?3m 9?4EA1200?10?10.248?10FN2l237.5?103?3?3 BB2??l2???1.791?10m 9?6EA2200?10?314?10?l1为缩短变形,?l2为伸长变形
(3)B点位移
先用解析发求位移的两个分量,由图(c)可看出,两个位移分量在每个杆上的投影和即为敢杆的变形,即
FN1l1BB2??l2
BB4sin??B3B4cos???l1
故BB2??Bx??l2?1.791?10?3m?1.791mm
?l1??l2cos?1.525?1.791?10?3?35 BB4??By???3.25?10?3m?3.25mm
sin?45B点位移BB3?
BB2?BB4?3.71mm
2214、两根不同的实心截面杆在B出焊接在一起,弹性模量均为E=200GPa,受力和尺寸均标在图中。试求: 1 画轴力图;
2 各段杆横截面上的工作应力; 3 杆的轴向变形总量。
?38 55kN 50kN A 55kN 900 B 12250kN
?65 C 5kN
解 1 假设各段轴力均为拉力 对于AB段:水平方向上列平衡方程
?Fx?0 FN1?50?0
得FN1?50kN(拉)
对于BC段:水平方向上列平衡方程
?Fx?0 FN2?55?50?0
得FN2??5kN(压) 轴力图如右图所示。 2 ?ABFN150?103???0.044?109Pa?44MPa(拉应力) 2?6A1??38?104FN5?1039???0.0015?10Pa?1.5MPa(压应力) 2?6A2??65?10450?103?900?10?3?0.198?10?3m?0.198mm(伸长) 2?6??38?10200?109?45?103?1220?10?3?0.0092?10?3m?0.0092mm(缩短) 2?6??65?10200?109?4 ?BCFl3 ?l1?N11?EA1Fl ?l2?N22?EA2?l??l1??l2?0.189mm(伸长)
15、有甲乙丙三种材料,其拉伸应力—应变试验曲线如图所示,指出: (1)那种材料的弹性模量E大? (2)那种材料强度高? (3)那种材料的塑性好?
? 乙 甲 丙 O 解:(1)弹性阶段,?—?直线段斜率越大,弹性模量就越小;直线段斜率越小,弹性模量就越大。因此,从图中可以看出,丙曲线的直线段的斜率最小,其弹性模量最大。 (2)?—?曲线对应的屈服极限越大,材料的强度就越高。从图中可以看出,甲的屈服极限最大,其强度也最高。
(3)当进入强化阶段后,?增加相同量,?值减小越多,材料塑性就越好,从图中可看出丙材料的塑性好一些。
16、某拉伸试验机的结构示意图如图所示,设试验机的CD杆与试件AB的材料相同为低碳钢,其?p?200MPa,?s?240MPa,?b?400MPa。试验机最大拉力为100kN。 (1)用这一试验机做拉断实验时,试样直径最大可达多大?
(2)若设计时取试验机的安全因素为n=2,则杆的横截面面积为多少?
(3)若试样直径d=10mm,今欲测弹性模量,则所加载荷最大不能超过多少?
? D C B
A
解 (1)工作状态下,杆CD和试件AB承受相同的轴向拉力,其最大值为P=100kN,在做拉断实验时,为确保试件断裂,CD杆能安全工作,则要求试件的应力应先于CD杆达到
轴向拉伸与压缩习题及解答1
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