PF?2AP,PH?2PA'，又截面PQEF和截面PQCH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面
PQCH面积之和是
(2AP?2PA')?PQ?2，是定值. 8分
（III）解：连结BC′交EQ于点M.
因为PH∥AD′,PQ∥AB,
所以平面ABC′D′和平面PQGH互相平行，因此D′E与平面PQGH所成角与 D′E与平面ABC′D′所成角相等.
与（I）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值.
设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=l-b知
D'E?(1?b2)?2,ND'?22?(1?b). 22因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45角， 所以D′E=2ND'即
?2?22??(1?b)??(1?b)2?2，
2?2?解得b?1,可知E为BC中点. 223，又D′E=(1?b)2?2?， 42EM2?. D'E6所以EM=
故D′E与平面PQCH所成角的正弦值为
解法二：
以D为原点，射线DA、DC，DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF-l-b，故
A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1）， P（1，0，b）,Q(1,1,b),E(1,-b,1,0), F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).
（I）证明：在所建立的坐标系中，可得
PQ?(0,1,0),PF?(?b,0,?b),PH?(b?1,0,1?b).
AD'?(?1,0,1),AD?(?1,0,?1).
因为ADPQ?0,AD'PF'?0,所以AD'是平面PQEF的法向量. 因为是平面PQGH的法向量.
因为AD'?A'D?0??所以A'D?AD'，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 ……4分 （II）证明：因为EF(0,?1,0)，所以为矩形.
在所建立的坐标系中可求得|PH|?所以|PH|?|PF|?EFPQ,EFPQ,又PF?PQ，所以PQEF为矩形，同理PQGH
2(1?B)|PF|?2b,
2,又|PQ|?1，
所以截面PQEF和截面PQCH面积之和为2，是定值. 8分 （III）解：由已知得D'E与AD'成45角,又D'E?(1?b,l,?1),AD'?(?1,0,1),可得
D'EAD'?|D'E||AD'|b?22(1?b)2?2?2， 2 即
1?1,解得b?.
2(1?b)2?22?b1D'E?(,1,?1),又A'D?(?1,0,?1)??所以D′E与平面PQGH所成角的正弦值为
21??12 |cos?D'E,A'D?|?2?. ……12分
36?22所以
（20）本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运
用解析几何知识解决问题的能力.满分12分. 解：
（Ⅰ）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,?3),(0,3)为焦长，长半轴为2的椭
圆.它的短半轴b?22?(3)2?1,
y 故曲线C的方程为x2;4?1. ……3分
2 （Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足
?2y2?x??1, ? 4??y?kx?1. 消去y并整理得(k?4)x?2kx 3.0， 故x1?x2?222k3,xx??. ……5分 1222k?4k?4 若OA?OB,即x1x2?y1y2?0.
33k22k2?2?2?1?0, 面x1x2?y1y2??2k?4k?4k?4 化简得?4k?1?0,所以k??. ……8分 （Ⅲ）OA?OB?x1?y1;(x2?y2)
2222 ＝(x1?x2)?4(1?x2?1?x2)
212222222 ＝?3(x1?x2)(x1?x2) ＝
6k(x1?x2). 2k?43知x2k2?40,从而x1?x20.又k 因为A在第一象限，故x1＞0.由x1x2? 故OA?OB220,
0,
即在题设条件下，恒有OAOB. ……12分
（21）本小题主要考查等差数列，等比数例，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进
行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分. 解：
2 （Ⅰ）由条件得2bn?an?an?1,aa?1?bnbn?1.
由此可得
a2?6,b2?9,a2?12,b3?16,a4?20,b4?25. ……2分
2猜测an?n(n?1),bn?(n?1). ……4分
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立. ②假设当n=k时，结论成立，即
ak?k(k?1),bk?(k?1)2,
那么当n=k+1时，
2abak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2),bk?1??2?(k?2)2
bk2所以当n=k+1时，结论也成立.
2由①②，可知an?n(n?1),bn(n?1)对一切正整数都成立. ……7分
（Ⅱ）
11?a1?b265. 122(n?1)n. ……9分
n≥2时，由（Ⅰ）知an?bn?(n?1)(2n?1)故
111???a1?b1a2?b2an?bn11111?(???) 622?33?4n(n?1) ＝
11111111?(??????) 622334nn?11111115＝?(?)??. 622n?16412综上，原不等式成立. ……12分
2008年高考试题 - 数学理（辽宁卷）
