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补充线性规划问题习题及解答
1．某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成下列订货任务：24cm宽的75卷，40cm宽的50卷和32cm宽的110卷，长度是一样的，试将这个要解决的切割方案问题列成线性规划模型，使切余的边料最少。 答：有下面八种切法 出 品 数 （ 卷 规 格 ） 案 方 一 二 三 四 五 六 七 八 4 0 0 1 1 2 2 0 0 2 0 1 0 1 0 1 4 20 4 4 12 12 20 28 需要 数量 （卷） 24cm 40cm 32cm 余料 75 50 0 0 3 1 2 0 1 1 110 设x1，x2，x3，x4，x5，x6 ，x7，x8分别表示八种下料方案切割的铜卷数，求解x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8使满足条件：
?x4?x5?2x6?2x7?75?4x1?2x?x4?x6x8?50?2? 3x?x?2x?x?x?11034578???x1，x2，x3，x4，x5，x6, x7, x8?0取整数并使余料总数：
Z= 4x1+20x2+4x3+4x4+12x5+12x6 +20x7 +28x8 取得最小值。 近似最优解x1=25/4,x3=20,x4=50 其他为0，最优值z*=305。（不是整数解）
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2．某养鸡场养鸡10000只，用大豆和谷物饲料混合喂养，每天每只平均吃混合饲料0.5kg，其中应至少含有0.1kg蛋白质和0.002kg钙。已知大豆中含50%蛋白质和0.5%的钙，价格是1.00元/kg，谷物中含有10%的蛋白质和0.4%的钙，价格是0.30元/kg，粮食部门每周只保证供应谷物饲料25000kg，大豆供应量不限，问应如何搭配两种饲料，才能使喂养成本最低，建立该问题的数学模型。
解：设每周用大豆x1公斤，谷物x2公斤,数学模型为
50%x1 +10%x2≥0.1×7×10000=7000 蛋白质
0.5%x1+0.4%x2≥0.002×7×10000=140 钙 x1 +x2≤0.5×7×10000=35000 总量 x2≤25000 谷物限量 x1≥0,x2≥0 min z=x1+0.3x2
图解最优解x1=9333.33 , x2=23333.33,最小值z*=16333.33。 3．一家昼夜服务的饭店，24小时需要服务员的人数如下
每个服务员每天连续工作8小时，且在表中时段开始上班，试求要求满足以上要求的最少上班人数，建立该问题的数学模型。
解：设在j钟点上班的人数为xj(j=1,2,…,6)，上班之后连续工作8小时，下班离开，每班中间不允许交接班离开。故有
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. . . 4人 2~6时 x1 8人 10人 7人 6~10时 10~14时 14~18时 x2 x3 x4 12人 18~22时 x5 4人 22~2时 x6 据题意有
2~6时 x1 +x6 ≥4 6~10时 x1+x2+ ≥8 10~14时 x2+x3 ≥10 14~18时 x3+x4 ≥7 18~22时 x4+x5 ≥12 22~2时 x5+x6 ≥4 min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6
最优解x1=4 , x2=10 , x4=8 , x5=4 , 其他xj=0, 最优值min z=26（人）
4．设有四个投资机会：
甲：在三年，投资人应在每年年初投资，每年每元可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息。
乙：在三年，投资人应在第一年年初投资，每两年每元可获得利息0.5元，两年后取息，可重新将本息投入生息。
丙：在三年，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获得利息0.6元，这种投资最多不得超过15000元。
丁：投资人应在第三年年初投资，一年每元投资可获利息0.4元，这种投资不得超过10000元。
假定在这三年为期的投资中，开始时有30000元可供投资，投资人应怎样决定投资，才能在第三年底获得最高的收益，试建立其数学模型。
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解：设xij为第i年初投放到j项目的资金数，其数学模型为：
max z=1.2x31+1.6x23+1.4x34 x11+x12≤30000 x21+x23≤1.2x11 x31+x34≤1.2x21+1.5x12 x23≤15000 x34≤10000
xij≥0 ,(i=1,2,3 ,j=1,2,3,4)
最优解x11=12500, x12=17500, x23=15000, x31=16250, x34=10000,其他为0；最优值z*=57500
5．某一求目标函数最大值的线性规划问题，用单纯形法求解时得到的某一步的单纯形表如下：
问a1，a2，a3，c，d各为何值及变量xj属于那一类性质的变量时： （1）现有解为唯一最优解。
（2）现有解为最优，但最优解有无穷多个。 （3）存在可行解，但目标函数无界。 （4）此问题无可行解。
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答：
1.c＜0, d≥0, x3, x4 ,x5都不是人工变量；
2.c=0, d≥0 , a1，a2至少一个大于零，x3,x4,x5都不是人工变量；
3.c＞0 , d ≥0 , a1≤0，a2≤0，x3,x4,x5都不是人工变量； 4.c≤0 , d＞0 且x3,x4,x5 至少一个是人工变量。
6. 某线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表格如下：
求a，b，…，k，l各个值。
答：a=3, b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3,
g=1, h=0, i=5, j=5, k=-3/2, l=0
7. 写出下列线性规划问题的对偶问题：
maxw?3y1?5y2?2y3?2y3?3?y1????2y1?y2?3y3?2??3y1?3y2?7y3??3?3y?4y?4y?4123.. .. ?
??y1?0,y2?0,y3无约束
补充线性规划问题练习题解答
