一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=?OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为
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x+bx+c表示，且抛物线上的点C到617m. 2（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=?(2)两排灯的水平距离最小是43 m． 【解析】 【详解】
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x+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；6试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点B(0,4),C?3,?17??在抛物线上 ?2??c?4?b?212?y??x?2x?4 所以?17，解得，所以1?c?4???9?3b?c6??6?2所以，当x??答：y??b?6时，y≦t?10 2a12x?2x?4，拱顶D到地面OA的距离为10米 6（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，y?（3）令y?8，即?22?6，所以可以通过 312x?2x?4?8，可得x2?12x?24?0，解得6x1?6?23,x2?6?23 x1?x2?43 答：两排灯的水平距离最小是43 考点：二次函数的实际应用．
2．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？
m2?5m【答案】（1）y＝﹣x+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝?，S的最大值是
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255782，此时动点M的坐标是（，）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是8243秒． 【解析】 【分析】
（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;
（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB
＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可. （3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值. 【详解】
（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3， ∴点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B， ∴3＝a+4，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3， ∴点C的坐标为（3，0），
∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m， ∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， 将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1， ∴点A的坐标（1，0）， ∵△ABM的面积为S，
1??m2?2m?31?33?m∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝， ??222化简，得
m2?5m1?5?25S＝?＝??m???，
22?2?8∴当m＝
2??52557时，S取得最大值，此时S＝，此时点M的坐标为（，）， 282425m2?5m即S与m的函数表达式是S＝?，S的最大值是，此时动点M的坐标是
82（
57，）； 241），连接HA′、OA′， 3（3）如右图所示，取点H的坐标为（0，
OH1OA?1?，∵∠HOA′＝∠A′OB，?， OA?3OB3∴△OHA′∽△OA′B，
BA?∴??3， AHBA?即?A?H，
382?1?∵A′H+A′C≥HC＝???32?， 3?3?2∴t≥
82， 3即点M在整个运动过程中用时最少是82秒． 3
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.
3．已知，点M为二次函数y??(x?b)2?4b?1图象的顶点，直线y?mx?5分别交x轴正半轴，y轴于点A,B.
（1）如图1，若二次函数图象也经过点A,B，试求出该二次函数解析式，并求出m的值. （2）如图2，点A坐标为(5,0)，点M在?AOB内，若点C(,y1)，D(,y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小.
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2【答案】（1）y??(x?2)?9,m??1；（2）①当0?b?1时，y1?y2；②当2114时，y1?y2；③当?b?时，y1?y2 225【解析】 【分析】 b?（1）根据一次函数表达式求出B点坐标，然后根据B点在抛物线上，求出b值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A点的坐标，最后代入一次函数求出m值.
（2）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】
（1）如图1，∵直线y?mx?5与y轴交于点为B，∴点B坐标为(0,5)
2又∵B(0,5)在抛物线上，∴5??(0?b)?4b?1，解得b?2
∴二次函数的表达式为y??(x?2)2?9 ∴当y?0时，得x1?5，x2??1 ∴A(5,0)
代入y?mx?5得，5m?5?0，∴m??1
（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M为(b,4b?1)，即M点始终在直线y?4x?1上，
∵直线y?4x?1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，而直线AB表达式为
y??x?5
4?x???y?4x?1?5解方程组?，得?
21y??x?5??y??5?∴点E(,421)，F(0,1) 554 5131??b，∴b? 442∵点M在?AOB内，∴0?b?当点C,D关于抛物线对称轴（直线x?b）对称时，b?且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线y?4x?1上 综上：①当0?b?1114时，y1?y2；②当b?时，y1?y2；③当?b?时，2225y1?y2.
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣
人教中考数学专题《二次函数》综合检测试卷含详细答案
