图8-2 经典模型发电机等值电路图
简化模型的电力系统暂态稳定分析的步骤和流程框图见图8-3。下面对其作简要说明。
(1) 暂态稳定分析首先输入原始数据，这包括系统元件的模型、参数、网络拓扑信息、扰动过程信息、稳定分析要求(如计算步长、仿真总时间、失稳判据等)、打印输出要求，另外还应输入暂态分析的初始稳态工况，一般为潮流计算结果。此即流程框图中框①。
(2) 然后根据潮流及原始数据计算各代数变量和状态变量的初值，及E?E和
Pm的稳态值，采用简化模型时E?和
Pm在暂态过程中保持不变。此即流程框图中
PL0
框②。对于负荷节点，潮流中已计算得负荷有功功率荷母线电压
?UL0、无功功率
QL0、及负
，则由
2?PL0?jQL0?YLUL0 (8-7)
可计算负荷等值导纳YL。对于发电机节点，潮流中已计算得发电机发出的有功
PG0、无功功率
QG0及端电压
?UG0，则由
?IG0?UG0*PG0?jQG0 (8-8)
，得E?及
计算
?IG0
，再由式(8-1)计算
*??????E0?E??0?UG0?jXdIG0?0，电磁功率
P??1(p.u)，至此
，E?和m0在暂态中保持不变。此外0系统暂态分析的初值计算毕。
(3) 根据网络元件参数及网络拓扑关系形成网络稳态工况下节点导纳阵，也
? IG0)?PPe0?Re(UG0m0可直接从潮流输出中读入。将负荷等值导纳YL及发电机内部暂态导纳并入导纳阵，对导纳阵作因子表计算。此即流程框图框③。
YG?1?jXdt(4) 将时钟指针n置零，根据扰动过程参数，判别当前有无扰动发生。若有t扰动则需要根据扰动参数修改导纳阵及微分方程，并设n时刻状态量不突变，据
扰动后系统代数方程计算
tn?时刻的代数量，作为
?tn~tn?1时步的初值，此即流程
t框图中框④和⑤；若n时刻无扰动则直接转入框⑥。
(5) 作
?tn~tn?1时段计算，求取
tn?1
时刻的状态量和代数量，前面对此已作
介绍，不予重复。此即框⑥的工作。
(6) 若本时步末要求打印输出结果，则转框⑦作相应处理，否则判别是否要停机：包括由于仿真总时间到而要求停机及据失步判据已判明系统失步不必继续计算而停机。若要停机则作相应结尾处理而停机，否则表明系统还应继续仿真下去，则更新时标，转去下一步计算。此即流程框图中框⑧一⑩的工作。
下面对实际的暂态稳定分析中的主要问题作一初步讨论，以便在后续章节中加以解决。
(1) 发电机凸极效应和采用高阶模型时的问题 当计及发电机凸极效应时，
??Xq?Xd，因此定子电压方程不能表示为与经典模型相似的同步坐标下的复数方
程(8-1)，而需分别建立定子d绕组、q绕组的电压方程，并在联网时作特殊处理，这包括凸极效应处理和dq-xy坐标变换。此外发电机采用三阶及三阶以上实用模型时，要计及励磁系统动态，需将发电机和励磁系统微分方程联立作数值计算。当进一步计及原动机和调速器动态时，还要加入其相应的微分方程一起作数值计算。
(2) 负荷采用非线性静态模型或动态模型时的问题 当负荷采用非线性静态模型时，在联网计算中需要求解非线性代数方程组，从而增加了分析计算的复杂性。实用计算时，要对负荷和网络的接口作特殊处理，以便计算各时段的网络潮流。当负荷采用动态模型时，联网计算需将其微分方程差分化，化为相应计算时步的差分代数方程，再和网络方程联立求解，动态负荷和网络接口时也要作适当处理。
(3) 微分方程求数值解的数值稳定性问题 暂态稳定分析要求求解联立的
tt
微分方程组和代数方程组，对于n~n?1时步计算通常将微分方程根据某种数值积t分准则或根据泰勒级数化为差分代数方程，从而由n及过去时刻的系统变量求取tn?1
时刻的状态量和代数量。若采用不同的数值积分方法(如改进尤拉法、龙格-
库塔法、隐式梯形积分法等等)，则数值积分误差的传递规律，或者说数值稳定性将不同，有些方法在一定条件下会使分析结果严重畸变。此外，采用不同的数值积分方法还会影响计算的处理过程以及计算的精度和时间。
(4) 微分方程和代数方程交替求解时的“交接误差”问题 在求解系统的微分方程组和代数方程组时，有些算法对微分方程和代数方程交替求解，即对于系统方程组
?f(y,z)?0 ??dy?g(y,z)??dt
(8-9)
ty式中，y为状态矢量；z为代数矢量；f、g为适当维数的函数。若设n时刻的n和
zn已解出，并据式(8-9)的第二式，用某种数值积分法估计状态量y在
(0)yn?1tn?1
时刻
的值
，再将
(0)yn?1代入式(8-9)的第一式通过求解代数方程计算
(0)zn?1，这样求得
的
yn(0)yn?1和
(0)zn?1一般不能严格满足式(8-9)的第二式。为改善精度，可进一步根据，
(0)zn?1，
zn，
(0)yn?1和式(8-9)第二式，作
yn?1的校正计算，得校正后的
zn?1yn?1，然
后再代入式(8-9)第一式计算与校正后的
yn?1相对应的，如此迭代直到计算收
敛。显然这种计算方法对代数方程和微分方程交替求解，计算结果不能同时满足
式(8-9)中的两组方程，从而造成所谓的“交接误差”，若多次迭代又会增加机时。为了消除“交接误差”，可把式(8-9)中的代数方程和差分化的系统微分方程联立求解，但求解过程较复杂，因为一般要求解一组非线性代数方程组。
(5) 故障及操作的处理问题 当系统发生故障或操作(切机、切负荷、切除线路等等)时，系统节点导纳阵和微分方程组要作相应的修正。由于系统状态量在过程中不发生突变，而代数量则在操作瞬间要发生突变，故还要根据操作后的系统代数方程求解突变后的代数量。还应指出，在发生不对称操作和故障时，还要根据序网理论和故障分析理论作相应处理，在复杂故障时，处理更为复杂。
8.3 发电机节点的处理和机网接口计算
发电机节点的处理和机网接口计算与发电机采用的模型有关，也和联网计算采用的方法有关。目前的发电机节点处理方法大体上可分为以下4类。
(1) 发电机采用经典模型时的处理方法。这一类处理方法已在上一节简化模型暂态稳定分析中作了介绍，即化为图8-2所示发电机等值导纳YG?1和发电机等值电流源?jXd????IG?YGE相并联的形式。将YG并入导纳阵，无操作时导纳阵不变，而每时步据发电机转??子角δ更新发电机注入网络的等值电流源IG，即可求解网络方程，计算节点电压。
(2) 考虑凸极效应的直接解法。其实质是将网络复数线性代数方程实、虚部分开，增阶
化为xy同步坐标下的实数线性代数方程，并将发电机方程由dq坐标化为xy坐标，再和网络方程联立求解，最终是在实数域内求解线性代数方程。这种解法对负荷非线性适应能力差，且发电机方程由dq坐标据转子角δ转化为xy坐标，引起导纳阵中发电机节点相应的对角 (2×2)子块由于δ变化而为非定常元素，每一时步要重新计算因子表，机时多且内存要增加一倍，目前在实用的暂态稳定分析程序中已不再采用此法，但这种方法物理概念清楚，不需迭代，求解网络方程为求解实线性代数方程组，也有一定优点。后面将对之作简单介绍。
(3) 考虑凸极效应的迭代解法。该方法特点是力求在复数域中求解线性代数方程来实现网络方程求解，并要求导纳阵元素在无操作时保持定常，而不随发电机转子角δ而变化，从而克服了直接解法的缺点。但发电机的凸极效应及转子角变化对机网接口计算的影响，都要通过修正发电机注入网络的电流源来计及，而电流源计算还同tn?1时刻的节点电压值有关。由于tn?1时刻的节点电压正待计算，而不预知，因此tn?1时刻相应的电流源也不能预先准确计算，故要通过迭代，逐步逼近准确值，这就是迭代解法的本质。迭代解法相对于直接解法有节省内存、因子表定常、计算速度快、便于适应非线性负荷模型等特点，但计算中每时步
计算需要迭代，并有迭代误差。迭代解法在一些实用暂态稳定分析程序中仍在使用，并常和改进欧拉法求解微分方程相结合。后面将对此方法作进一步介绍。
(4) 考虑凸极效应的牛顿法。牛顿法是求解非线性代数方程组的优良方法，有良好的收敛性能，已广泛用于电力系统潮流计算。当发电机计及凸极效应，负荷计及非线性，系统中元件微分方程化为差分代数方程后，全网的代数方程联立，实质上是要求解一组非线性代数方程，故也可采用牛顿法求解。相对于直接解法和迭代解法，用牛顿法进行机网接口计算编程复杂，因为要计算雅可比矩阵元素，而雅可比矩阵元素随时间而变化，故计算机时也较多。但其最大优点是对非线性元件模型的适应性好，可将微分方程的差分代数方程和系统代数方程联立求解，无“交接误差”，故计算精度高、累计误差小，因而在暂态稳定分析中广泛应用。它常和隐式梯形积分法求解微分方程相结合，后面将对隐式梯形积分法作进一步介绍。
8.3.1考虑凸极效应的直接解法
??Xq?时，发电机定子方程就不能用式(8-1)的简单当发电机计及暂态凸极效应，即Xd复数关系来表示，必须对d轴、q轴等值绕组分别列方程。当发电机采用四阶(或三阶)实用
??0,Xq?为Xq) 模型时，定子电压方程为 (三阶模型时，下列方程中Ed??Xq?Iq?raId?Ud?Ed ???U?E?XI?rIqddaq?q （8-10)
当发电机采用五阶、六阶实用模型时，定子电压方程为
???Xq??Iq?raId?Ud?Ed （8-11) ??????Uq?Eq?XdId?raIq由于式(8-10)和式(8-11)有相同形式，故下面将以发电机三阶、四阶实用模型为例，即用式
(8-10)讨论机网接口计算问题。
将式(8-10)写成导纳阵形式
?Id??ra?I?????q??Xd????Ed?Xq??ra???Eq?1?Ud?1?2''?Ud?r?XXadq??ra??X?d??????EdXq?E?? （8-12) ra???q?为了和网络方程接口，需将dq坐标化为xy同步坐标，对式(8-12)二边右乘坐标变换阵
?sin?T：T????cos?cos??，则fxy?Tfdq，从而式(8-12)化为 ?sin???ra??X?d?????1?ExXqT??ra??E?y?Ux?def?Gx??By?Uy????Bx??Ex?E?Gy???y?Ux? （8-13） ?Uy???Ix?1?I??T2?Xq?ra?Xd?y?式中
??Ex?E??y?G?x??B?x???Gy??B?y??sin??Eq?cos? ?Ed ?cos??Eq?sin? ??Ed 1??Xq?)sin2?/2] ?2[ra?(Xd ?Xq?ra?Xd1?1??????2(X?X)?(X?X)cos2?/2dqdq? （8-14) ?Xq??ra?Xd?2?1??Xq?)sin2?/2] ?2[ra?(Xd ?Xq?ra?Xd1?1??????2?(X?X)?(X?X)cos2?/2dqdd??Xq??ra?Xd?2??Gx显然式(8-13)中导纳阵??ByBx?是转子角?的函数，且Gx?Gy,Bx??By，不具备Gy???G?B??BG?形式，无法直接将式(8-13)化为复数方程，然后与网络方程联立，在复数域中求??解。
??I?为了便于机网接口，直接解法中先把n个节点的网络复数线性代数方程YU增阶化
为2n维的实线性代数方程。
??Ix1????G11?B11?????????IBGy1??????1111?????????Ixi????Gi1?Bi1??????????IBGi1???yi????i1????????Ixn????Gn1?Bn1?????????BGIn1????yn?????n1?G1i?B?1i?Gii?B?ii?Gni?B?ni?B1i??G1i?????Bii??Gii?????Bni??Gni???G1n?B?1n?Gin?B?in?Gnn?B?nn?B1n????Ux1?????U??G1n?????y1????????Bin????Uxi?????U?? Gin?????yi????????Bnn????Uxn???????Gnn?U?????yn??????和U?jU?U?分别为IGij?jBij?Yij为Y阵中i行j列元素，,U式中，Ixi?jIyi?Iixiyii中第i个元素。
为不失一般性，设式(8-13)所描写的发电机接于网络第i个节点，则式(8-13)中??Ix?和??Iy??Ux??Ixi??Uxi??Ixi?将式(8-13)代入式(8-15)中第i个节点方程，消去??，?U?即为式(8-15)中?I?和?U?，
?y??yi??yi??Iyi?并将i节点方程整理为
'?Ixi?def?Gx?'????Iyi???By?'Bx??Ex?n?Gij?'????Gy??Ey??j?1?Bij??j?i?Bij??Uxj??Gii?Gx?U???B?BGij?y??yj??ii
?Bii?Bx??Uxi??U?
Gii?Gy???yi?
(8-16)
时域仿真法暂态稳定分析
