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第2５届北京市高中力学竞赛决赛试卷
(北京四中杯）
(全卷满分150分） 201２年5月20日9：３0~11：3０ 题 号 分 数 阅卷人 复查人 一 (填空） 二(计算题） ７ 8 9 1０ １1 总 分 一、填空题(6小题,每小题8分，共４8分)
得 分 １. 一跳远运动员在地球表面跳远，起跳时速度为１0m/s,能跳出7.5m远. 已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的１
/6，如果他在月球表面跳远，起跳速度大小也是1０ｍ／s，他跳远的记录将是 m．
２． 一举重运动员能举起100kg的重物,他对一根羽毛能施加1000N的力吗?
答： ,理由是 .
３． 嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动,测出其周期为Ｔ,则飞船距月球表面的
2GMT?R，其中M是月球的质距离为h,可否不计地球引力而近似表述为h?324?量，Ｒ是月球半径． 答: ，理由是 .
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4. 据北京晚报2012年3月１7日和参考消息3月1８日报道,奥地利勇士鲍姆加持纳从2.18万米高空的氦气球吊篮中跃下，下落的最高速度到1６3m/ｓ．下落约3分4３秒，距地面2400m高处打开伞，整个下落到地面的时间持续8分8秒． 试根据报纸报道和你的分析，在图1中比较准确地画出奥地利勇士下落到地面过程的ｖ－ｔ图线.
v/m?s-1
t/s
图1
5. 下雨天，假设无风，雨滴以速度υ1竖直下落,雨滴在空中的分布是均匀的,单位体积的雨量是ρ. 如图２所示，一个人要从A处运动到Ｂ处，他没有带伞,A、B的距离为ｌ，人的运动速度为υ2. 把人简化为长方体模型，头和肩的水平面积为S1，身体前方正面的竖直面积为Ｓ2． 则人从A到B过程中，打到面积S1上的雨量为 ,打到面积S2上的雨量为 .
1 B、Ｃ,用轻杆连接,如图３所示. Ａ、B与B、6. 三个质量均为m的小球Aυ、S1 Ｃ的距离相等,Ａ、B、Ｃ与地球中心O在一条直线上. 三个小 球在高空绕地球做匀速圆周运动，如果轻杆收到扰动而偏离直线一小角度θ，则υ2 S2 轻杆与直线的偏角θ将 (增大、减小、不变),理由是 ? .（本题说明控制卫星天线总指向地球的基本原
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A
l
图2
B
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理）
二、计算题(共１02分) 得 分 O 地球
A B θ C 7.(16分)两个相同的半球，半径都是r，质量为0.5m，放在静摩擦因
图3 数为μ = 0．5的水平面上． 在两个半球上放一个半径为ｒ，质
量为m的光滑球，如图4所示. 求在平衡状态下两球球心之间的最大距离b.
得 分 8．(16分)两个质量分别为m1和m2的小球,它们之间的相互作用表现A 为斥力(斥力大小表达式为km1m2θ C B ，是常数,r为两球之间距离). k2rb 图4
现已知m1以速度v0接近m2,瞄准距离为b,即m2到m1速度方向的垂直距离为b，如图5所示. 求m1小球接近m2小球的最近距离d． 设m1??m2,小球m2可近似看作静止.
m2
bdm1 v0 得 分 m1 v 图5 9.（2０分)如图６所示，质量为m的小球，用不可伸长的线悬于固
定点O,线长为l,初始线与铅垂线有一个夹角,初速为0. 在小球开始
运动后，线碰到铁钉O1. 铁钉的方向与小球运动的平面垂直. OO1=ｈ＜l，且已知OO1与铅垂线夹角为β，设l与铅垂线夹角为?. 假设碰后小球恰能做圆周运动. 求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化.
得 分 O １0． (２5分) 如图7所示,理想滑轮（轻质，无摩擦）两端悬挂两? l 个质量均为m的砝码盘. 用轻线拴住劲度系数很大的轻弹簧(弹簧β O1 劲度系数为ｋ）两端使它压缩的长度为l，将此弹簧竖直放在左侧砝码盘上,弹簧
-- 图6
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上放一质量为m的砝码. 右侧砝码盘上也放置质量为m的砝码,使两盘静止. 燃断轻线,轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离. 求（1）此系统（包括两个盘、两个砝码、弹簧和细绳）中哪些量守恒？(２)使用守恒定律求砝码脱离弹簧后升起的高度．
得 分 11.(２5分）三个质量为ｍ的小球用两根长为l的不可伸长细绳相连. 初始时刻,三个小球在一条线上，静止放在光滑水平面上，标号分别
为1、２、３，如图8所示. 给标号为3的小球以初速度v0，则这三个小球运动起来，求１、２两球相遇时的速度为多大？
第25届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 2 1 3
（北京四中杯） 一、填空题
１． 45 .（8 分)
图8
v0
2． 不能 (2分)．一根羽毛不能对运动员施加1０00Ｎ的力，根据牛顿第三定律，运动员也不能对羽毛施加100０N的力．(6分)
3.可以(2分）．在地球引力所用下,月球(携带飞船)绕地球做匀速圆周运动,可认为月球飞船处于失重状态，可只考虑月球对飞船的引力作用（6分)．
4．
v/m?s-1 l?Sv５．;(4分) ?S2l.（4分) 163 11v26. 减少（2分),B球受地球引力与惯性离心力平衡，Ａ球受引力大于惯性离心力,合力指向地球，C球受引力小于惯性离心力,合力背向地球，A、C球受力的力矩使θ角减少(6分）． 二、计算题 O A B θ C 地球 7. 解:设最大距离时摩擦力为ｆｍａx,AB球心连线 与竖直夹角θ． y 488 N t/s
233 对Ａ球y方向:2Ncos??mg （３分） NB -- ? 1x fmax --
N?mg 2cos?1对B球y方向：NB?mg?Ncos??0 (3分)
211 NB?mg?mg?mg
22对B球x方向：fmax?Nsin??0 (3分） fmax??NB?
1mg (1分） 21mgmg?sin??0 22cos? tan??1 tan??bmaxb(2r)2?(max)22?1 （3分)
33bmaxbmax222?4r? bmax?8r bmax?22r （3分） 44 ８.解:m1小球受力始终指向m2小球中心，m1小球在一平面内运
?
rv0 动．如图所示.设z轴垂直于此平面且通过m2小球中心,则m1小球所受力对z轴的
m1小球以速度v０运动,对z轴角动量是rm1v0sin?,力矩为零,即对z轴角动量守恒．
但rsin??b，故rm1v0sin??bmv0,m1小球最接近m2小球(距离为ｄ)时,即无继续向m2小球运动的速度，又无远离m2小球的速度,此刻的速度v应与m1小球至m2小球的连线垂直，角动量是dm1v．于是
dm1v?bm1v0 (１) （５分) 得 v?v0b d--
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12在散射过程中，只有斥力作用，故能量守恒。最初，其能量为m1v0动能,到达
2离m2小球最近时,其总能量为
mm1m1v2?k12， 2d后一项为斥力势能，k为一常数．因此,
mm112 (2) （５分） m1v2?k12?m1v02d2有(1）(２）得
?m2?m2? d?k22??k?b2??v0?v0?2 (4分）
d只能为正,故式中负号无物理意义，舍去．
?m2?m2?d?k22??k?b2?v?v0?0? (2分) 9.解：假设碰后小球能作圆周运动，运动到最高点的速度v可由
mv2?mg(l?h)2 （3分) 得出 v2?(l?h)g
设初始夹角为α
1由机械能守恒得到:mv2?mg[hcos??lcos??(l?h)] （５分）
21 mg(l?lcos?)?mv2
2h33 cos??[(?cos?)?]
l22 假设碰前瞬时速度为v１
1 则：mv12?mgl(cos??cos?) （２分)
2 v1?2gl(cos??cos?)
mv12 碰前：T1?mgcos?? (3分）
l--
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mv12 T2?mgcos?? （3分)
(l?h) T2?T1?2mgh ?(l?h)(cos??cos?)2mgh (4分)
3l(?cos?)2１0. 解：（1）该质点系能量守恒(３分），对滑轮轴的角动量守恒(２分)。 （2）设滑轮半径为R，弹簧释放后，弹簧上边的砝码获得的速度为ｖ，方向向上,左边砝码盘及右边砝码盘及砝码获得的速度大小是ｖ'。该质点系对滑轮轴的角动量守恒,有：
- mｖR+mv’R+２ｍv’R = 0,(6分）即 v = ３ v＇ (1） （３分）
能量守恒(因为弹簧弹性系数很大,所以忽略重力势能的微小变化），有：
12121kl?mv?(3m)v'2 （6222分）
即mv2?3mv'2?kl2 (２） 左盘中的砝码脱离弹簧获得速度v后做竖直上抛运动
2 （3） (31 22mv?mgh?h?v/2g分)
由⑴⑵可求得v2=3ｋl2/4m，代入⑶中得： h
= ３ k
l2／８mg
(2分）
11．解：设运动起来后三小球竖直方向速度大小为v，1、2球相遇时速度大
小为u.由于是光滑水平面，所以运动起来前后动量守恒、能量守恒,有
mv0?3mv (１) (10分)
12121mv0?mv?2?mu2 （2) (10分) 2222解得 u?v0
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