高三一轮复习函数及导数应用

第二章 函数、导数及其应用

第一节 函数及其表示

一、应试基础必备 1．映射的概念

设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有__________的元素与之对应，那么称这种对应叫作从A到B的映射，通常记为f:A?B ，f表示对应法则.

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一. 2．函数的概念 (1)函数的定义：

设A、B是两个非空的 ，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 x，在集合B中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫作从A到B的一个函数，通常记为__________. (2)函数的定义域、值域

在函数y?f(x),x?A中，x叫做自变量，x A叫做y?f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值， f(x)x?A称为函数y?f(x)的值域. (3)函数的三要素： 、 和 . 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 (1)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示. 4.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 二、必记结论

1.映射与函数都是一一对应关系，可以是一对一，多对一.

2.函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广.

3.函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形作为一个函数的图像.

4.分段函数有几段，它的图像就有几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点. ◆热点题型?分类突破

考点一 判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数为同一函数。 例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

??（1）f(x)?（2）f(x)?x2，g(x)?3x3；

xx，g(x)???1??1x?0,x?0;

（3）f(x)?x2x?1，g(x)?2x2?x；

（4）f(x)?x?2x?1，g(t)?t?2t?1 考点二 函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例1、函数f?x??A．2，???C．???，?2?例2、函数f(x)?x2?4?1的定义域为（ x?3

B．2,3?）

??2? ???，???? ?3，??? ?2,3??3，x?xD．???，?2 ?(x?1)0的定义域是（ ）

A.?x|x?0? B. ?x|x?0? C. ?x|x?0且x??1? D. ?x|x?0且x??1? 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1、已知函数y?f?2x?1?定义域为0,3，则函数y?f?x?的的定义域为 .

例2、 已知函数y?f?x?定义域为0,3，求函数y?f?2x?1?的的定义域.

例3、 已知函数y?f?2x?1?定义域为0,3，求函数y?f?2x?1?的的定义域.

??????例4、已知函数y?f?x?定义域为0,3，求函数y?f?2x?1??f?2x?1?.

变式训练

??f?x?1?的定义域为 . 1.若函数y?f?x?定义域为?0,2014?，则函数g?x??x?12.如果函数f?x??ln??2x?a?的定义域为???,1?，则a实数的值为 .

考点三 求函数的解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1、已知f?x?是一次函数，且满足f?2x??4f?x?2??18x?9，求f?x?的解析式；

例2、已知f?x?是一次函数且2f?2??3f?1??5,2f?0??f??1??1,则f?x??（ ）

A．3x?2

例3、二次函数f?x?满足f(x?1)?f(x)?2x，且f(0)?1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x?5.

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

2例1、已知二次函数f(x)满足f(2x?1)?4x?6x?5，求f(x).

B．3x?2 C．2x?3 D．2x?3

例2、已知f?x?1?x?1,则f?x??_____________.

?

题型3：求抽象函数解析式

例1．已知函数f(x)满足f(x)?2f()?3x，求f(x).

例2、已知：2f(x)?3f(?x)?x?1，求f?x?表达式.

变式训练

1. 已知f?x?是一次函数，且f

2. 已知f

3.已知函数f?x?满足2f??x??f?x??2x?1，求f?x?的解析式.

4.已知f?x?满足2f?x??f?

1x?f?x???9x?4，求f?x?的解析式.

?x?1?x?2x，求f?x?的解析式.

??1???3x，求f?x?的解析式. ?x?考点四 求函数的值域 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法 例1、求y??x?2x?3函数的值域；

例2、求函数y??2x?8x?5满足下列条件的值域：

（1）x?[?1,1] （2）x?[1,4] （3）x?[4,8]

（2）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数 例3（1）y?x?221?2x （2）f(x)?2x?3?4x?13

（3）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域 例4、求函数y?3x?2的值域

4x?3

（4）分段函数分别求函数值域（图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域） 例5、y?x?3?x?5

（5）对勾函数法： 像y?x?模型：如y?x?

m?m?0?的函数；m?0就是单调函数. x4，求（1）单调区间；（2）x的范围[3,5]，求值域. x