填空题
1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法．
2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法．
3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．(x?y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程x1?x2?x3?2的非负整数解的个数为_ 6 ___．
6．由初始条件f(0)?1,f(1)?1及递推关系f(n?2)?f(n?1)?f(n)确定的数列
{f(n)}(n?0)叫做Fibonacci数列
7．（3x-2y）20 的展开式中x10y10的系数是
c1020310(?2)10．
8．求6的4拆分数P4(6)? 2 ．
?5,f(5)?，试求89．已知在Fibonacci数列中，已知f(3)?3,f(4)Fibonacci数f(20)?10946
10．计算P4(12)?
P4(12)??Pk(12)?P1(8)?P2(8)?P3(8)?P4(8)k?14?P1(8)?P2(8)??Pk(5)??Pk(4)?1?4?5?5?15
k?1k?13411．P4(9)?（ D ）A．5 B. 8 C. 10 D. 6
12．选择题 1．集合A?{a1,a2,,a10}的非空真子集的个数为（ A ）A.1022 B.1023 C. 1024 D.1021
2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ）
A．800 B. 780 C. 900 D. 850
3．设(x,y)满足条件x?y?10，则有序正整数对(x,y)的个数为（ D ） A. 100 B.81 C. 50 D.45
234．求(x0?3x1?2x2?x3)6中x0x1x2项的系数是（ C ） A.1450 B. 60 C.3240 D.3460
25．多项式(2x0?x1?4x2?x3)4中项x0?x12?x2的系数是（ C ） A．78 B. 104 C. 96 D. 48
6．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 D.378
7．递推关系f(n)?4f(n?1)?4f(n?2)的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解 A．c12n?1?c22n B. (c1?c2n)2n C. c(1?n)2 D. c12n?c22n
8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的n(n?1)位数（ ）运用指数生产定理
nnnA.4?3?(?1)4nnnnnnnn4?3?(?1)4?3?14?2?1 B. C.D.
343
9．不定方程x1?x2?A.??xn?r?r?n?正整数的解的个数为多少？（ A/ C ）不确定
?r?1??r??n?r?1??n?r?1? B. C. D.???????
?r?n??r?n??r??r?n?10．x1?x2?x3?14的非负整数解个数为（ A ）
A.120 B.100 C.85 D. 50
11．从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除？（ A ） A.167 B.200 C.166 D.33
12．期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里 把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？（ D ）
A. 9 B. 16 C.90 D.1800
13．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。 A．50 B．57 C．43 D．11
14．将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。 A、1 B、2 C、3 D、4
?120???与下列哪个式子相等？（ B ） 50???120??119??119??119?12?120??????????A、? B、+ C、 D、 ?60??50??49?????5?49????????49?15．组合式??16．在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。 A、 2 B、 4 C、 9 D、 24 17．若存在一递推关系??a0?4,a1?9?an?5an?1?6an?2(n?2)nnnnn?1n?1n?1A.3?2?3 B.2?3?2 C.3?2 D.3?2?3 18．递推关系an?4an?1?3an?2?2n(n?2)的特解形式是（ B ）（a为待定系数）
A.an2 B. a2 C. an2 D. an2
19．错位排列数Dn?( C ) 答案：C
A.nDn?(?1)n?1 B. (n?1)Dn?(?1)n C. nDn?1?(?1)n D. (n?1)Dn?(?1)n?1 20．有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ C ）只小鸟 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
21．10个节目中有6个演唱，4个舞蹈，今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1
644个演唱，问可编写出多少种不同的演出节目单？A6C7A4；P(6,6)?P(7,4)
nn则an?( A ).
3n2n22．数列{n}n?0的生成函数是（ D ）。 A、
?1?t??1?t?t1t B、 C、 D、 2322?1?t??1?t??1?t??1?t?6!?P(6,4) D、6!?P(7,4) 623．6个男孩和4个女孩站成一圈，如果没有两个女孩相邻，有（ C ）种排法。 A、P(6,4) B、6!?P(6,4) C、
24．排A，B，C，D，E，F六个字母，使A，B之间恰有2个字母的方式数（ D ）。 A、12 B、72 C、36 D、144
25．求多重集S?{3a,2b,4c}的8-排列数是（ C ） A. 700 B. 140 C. 1260 D. 1200
26．一糕点店生产8种糕点，如果一盒内装有12块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）？（ B ） Ａ．50000 Ｂ．50388 Ｃ．55000 Ｄ．52788
27．在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ A ） A．
20!20!2015 B. C. 15 D. 20 5!15!
28．an?n的生成函数是（ D ）
2xA．1 B. x C. ?1 D.
2222(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)
计算题
1．试确定多重集S={1?a1,??a2,??a3,,??ak}的r?组合数。 解：把S的r—组合分成两类：
?①包含a1的r组合：这种组合数等于{??a2,??a3,???,??ak} 的（r-1）?即N1?C((k?1)?(r?1)?1,r?1)?C(k?r?3,r?1)
②不包含a1的r组合：这种组合数等于{??a2,??a3,???,??ak}的r?组合数
?N2?C((k?1)?r?1,r)?C(k?r?2,r)
?由加法法则，所求的r组合数为N?N1N2?C(k?r?3,r?1)?C(k?r?2,r) 2．求S?{5a,3b}的6-排列数
解： 根据题意有：M1?{5a,b},M2?{4a,2b},M3?{3a,3b}
6!6!6!N1??6,N2??15,N3??20则的全排列数N?N1?N2?N3?41
5!1!4!2!3!3!53．求(1?2x?3x2?4x3)6展开式中x的系数
?2n?52n4．求(1?2x?x)的展开式中x的系数,其中n?3。 ??5?? （n?3）
??2n2n??k2n2n2n2n解：(1?2x?x)=((1?x))?(1?x)。 又因为(1?x)????k??x
k?0???2n?5所以x的系数为??5?? （n?3）
??5．(1)求an?n?5的生成成函数。（n?0）
即
解：设A(t)??atnn?0?n，则A(t)??(n?5)t??(n?1)tnn?0n?0??n?4?tnn?0?1?4?4t5?4t? 22(1?t) (1?t)(2)解递归关系：H(n)?4H(n?1)?4H(n?2)， H(0)?1,H(1)?3。
?(1?t)?2?4(1?t)?1?答案：解特征方程x2-4x-4=0 x1=x2=2. 得H(n)=2n{1+n/2} 6．求重集S?{20a,14b,20c}的10-组合数。 答案：C(10+3-1 , 10)
7．(a?b?c?d)的展开式在合并同类项后一共有多少项？ 答案：C(100+4-1 , 100).
100
8．解递推关系an?5an?1?6an?2?n?2，a0?解：递推关系an?5an?1?6an?2?n?2? （1）
2749,a1?.（n?2） 44的特征方程为x2?5x?6?0，特征根为x1?2,x2?3.故其通解为
an?c1?2n?c2?3n.
因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系
an?5an?1?6an?2?n?2?n?2? （2）
有特征根an?An?B，其中A和B是待定常数，代入（2）式得
?2A?1??2B?7A?2An?B?5[A(n?1)?B]?6[A(n?2)?B]?n?2
化简得2An?2B?7A?n?2,所以 解之得A?11111,B?.于是an?c1?2n?c2?3n?n?,其中c1,c2是待定常数。24241127?c?c??12由初始条件得? ?44??2c?3c?1?11?4912?244?111n?(n?2). 249.解递推关系an?5an?1?6an?2?2n?3，a0?5,a1?10.（n?2）
nn解之得c1?3,c2?1.所以an?3?2?3?解：递推关系an?5an?1?6an?2?n?2? （1）
2的特征方程为x?5x?6?0，特征根为x1?2,x2?3.故其通解为
an?c1?2n?c2?3n.
因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系
an?5an?1?6an?2?2n?3?n?2? （2）
有特征根an?An?B，其中A和B是待定常数，代入（2）式得
?2A?2??2B?7A??3An?B?5[A(n?1)?B]?6[A(n?2)?B]?2n?3
化简得2An?2B?7A?2n?3,所以
解之得A?1,B?2.于是an?c1?2n?c2?3n?n?2,其中c1,c2是待定常数。由初始
c1?c2?2?5条件得??
?2c1?3c2?2?2?10解之得c1?2,c2?1.所以an?2n?1?3n?3n?n?2(n?2). 答案：an?2n?1?3n?n?2
10．求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数。
解：设A为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C为1至1000的整数中能被8整除的数的个数.
?1000??1000??1000??1000?A???200,B??166,C??125,A?B???6??8??30??33,5????????则
?1000??1000??1000?A?C???25,B?C??41,A?B?C???24??120??8?40?????所以
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C?200?166?125?33?25?41?8?400即所求为：1000?400?600.
11．在所有的n位数中，包含数字3、8、9但不包含数字0、4的数有多少？ 解：除去0、4，则在1、2、3、5、6、7、8、9这8个数组成的n位数中: 令S表示由这8个数字组成的所有n位数的集合，则S?8n； 令P1表示具有性质：一个n位数不包含3； 令P2表示具有性质：一个n位数不包含8； 令P3表示具有性质：一个n位数不包含9；
令Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的集合(i?1,2,3) 则有容斥原理， A1A2A3?S??|Ai|?(|A1i?13A2|?|A2A3|?|A1A3|)?|A1A2A3|
而|Ai|?7,i?1,2,3;|A1所以A1nA2|?|A23A3|?|A1A3|?6n，|A1A2A3|?5n
A2A3?8n?3?7n?3?6n?5n
454512．求(1?2x?3x)的展开式中x的系数。 解：原式=(1?2x?3x)=
?5?45?5??5??5??5?4424334244??(3x)???(1?2x)(3x)???(1?2x)(3x)???(1?2x)(3x)???(1?2x)(3x) ?0??1??2??3??4??5????(1?2x)5?5?所以x的系数???2=80
3213．请确定在(x1?x2?2x3?2x4)8的展开式中x12x2项的系数。 x3x43?5??2?3???1?(?1)8231223?(2)1?(?2)2
8!8!??(?8)?2!3!2!3试确定多重集S={??b1,3?b2,5?b3,7?b4}的10?组合数。
解：构造多重集S’={∞*b1, ∞*b2, ∞*b3, ∞*b4}，令S’ 的所有10?组合构成的集合为S，有|S|=C(4+10-1,10)。令B为至少出现4个b2的组合构成的集合， C为至少出现6个b3的组合构成的集合，D为至少出现8个b4的组合构成的集合。
由于B中的每一个10?组合至少含有4个b2，故这样的一个组合相当于S’ 的一个6?组合，反之， S’ 的一个6?组合加上4个b2就得到了B的一个10?组合。这两种选法是一一对应的。故|B|=C(4+6-1,6)，同理有|C|=C(4+4-1,4)，|D|=C(4+2-1,2)。 类似的分析可得
|B∩C|=C(4+0-1,0)，|B∩D|=0，|C∩D|=0，|B∩C∩D|=0。
根据容斥原理，S的10?组合数为286-(84+35+10)+(1+0+0)-0=158 14．解递推关系：
组合数学题库答案
