命题的否定中的一个易错点
在高二数学选修2-1中，我们学习了命题，其中对于命题的否定这一知识点，同学们处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准，还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。本文主要对于命题的否定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。 首先，让我们来看一道逻辑用语中的习题： 例：设函数f?x??ax?9的定义域为A，若命题p：3?A与命题q:5?A有且
5x2?a只有一个为真命题，求实数a的取值范围。 对于这道题目，同学给出了两种解法。 解法1：由题意可知，p,q两个命题一真一假。 （1）
若p真q假，则需满足
?3a?9?a?45??45?a?0?39???a?? ?a?或a?1255a?9??0?5?125?a?（2）
若p假q真，则需满足
?3a?9??45?a?0?a?3或a?45?9???9?a??,3???45,12?5 ?5a?9?a?125?5???0??5?125?a解法2：由题意可知，p,q两个命题一真一假
?9?命题p等价于?a3?a?45?，命题q等价于?a?a?125?
?5?（1）
若p真q假，则需满足
?a?45??39 ??a??
a?或a?125?5?（2）
若p假q真，则需满足
??a?3或a?45?9? ?9?a??,3???45,125?
?a?125?5???5?9? 综上所述，a??,3???45,125?.
?5? 乍一看，两种解法都好像没有问题，为什么最终结果却不一样？我们可以肯定，至少有一个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的？又错在哪里呢？ 让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法1中对命题的否定是直接改变命题中的不等式的符号方向得到的，而解法2中，对命题的否定是先求出原命题所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。也就是说，两种解法在求命题的否定形式所表示的范围时采取了不同的方式：一种是先写写出否定形式，再求范围，另一种是先求范围，再对范围进行否定，从理论上讲，这两种方法都是对的，可为什么出现了上述不同的两种结果呢？
经过进一步的对比研究发现，其实解法1中对含不等式命题的否定不全面，从而导致了最终结果相差一个数字“45”。解法1中，命题p等价于而它的否定形式被写成
3a?9?0，45?a3a?9?0。这个写法是有问题的，我们不妨从两个不等45?a式所表示的范围来分析一下，
3a?93a?9?0?3?a?45,?0?a?3或a?45， 45?a45?a而我们知道，原命题与它的否定形式是对立的，也就是说，它们所表示的范围的并集应该是全集，而上述两种范围的并集并非全集，正好缺一个数字“45”，看来我们已经找到了错误的根源。
3a?9?0进行45?a3a?93a?9否定？其实，命题p包含了两层含义：一是分式有意义，二是?0成
45?a45?a3a?93a?9立。因此，对于这个命题的否定应该是无意义，即?0或者分式
45?a45?a3a?9?0或a?9，那么现在我们重新用解法1的思路进行求解。 45?a 现在我们需要解决的问题应该就是，如何正确的对命题p:解法3：由题意可知，p,q两个命题一真一假。 （1）
若p真q假，则需满足
3a?9??0?a?45???3945?a???a?? ?a?或a?1255a?9??0或a?125?5??125?a （2）
若p假q真，则需满足
?3a?9?45?a?0或a?45??a?3或a?45?9?9??a?5 ???a?125?5,3???45,12?5a?9?????0?5125?a?
?9?综上所述，a??,3???45,125?.
?5?事实上，这个问题可以归结为含分式不等式的命题的否定，其实这个命题的否定中的一个误区，对于这类问题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误，我们可以采取解法2的思路，先求出命题所表示的范围，再对范围进行否定，这应该是比较的解决方法。这只是在命题的否定中的一个问题，当然还有其他需要注意的地方，希望同学们要多归纳总结。
人教B版高中数学选修(2-1)-1.2典型例题：命题的否定中的一个易错点
