2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案
2．基本不等式
对应学生用书P4 1．基本不等式的理解
a＋b
重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的
2条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，a＋b
b≥0仍然能使≥ab成立．
2
两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b. 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 ?a＋b?2
(1)a＋b≥；
2
2
2
a2＋b2
(2)ab≤；
2a＋b2
(3)ab≤()；
2a＋b2a2＋b2(4)()≤；
22(5)(a＋b)2≥4ab.
对应学生用书P5
[例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：＋＋≥9.
abc
[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋ abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋
aabbcc
10
利用基本不等式证明不等式 2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案
ba??ca??cb?＝3＋??a＋b?＋?a＋c?＋?b＋c?≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111即＋＋≥9. abc
法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111111∴＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋) abcabcbcacab＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
aabbcc
ba??ca??cb?＝3＋??a＋b?＋?a＋c?＋?b＋c?≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111∴＋＋≥9. abc
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 证明：因为a，b，c，d都是正数，
ab＋cdac＋bd所以≥ab·cd＞0，≥ac·bd＞0，
22?ab＋cd??ac＋bd?
所以≥abcd，
4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立． a2b2c2
2．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
bcaa2b2c2
证明：∵a，b，c，，，均大于0，
bcaa2
又＋b≥2 bb2
＋c≥2 cc2
＋a≥2 a
a2·b＝2a， bb2·c＝2b. cc2·a＝2c. a
a2b2c2
∴(＋b)＋(＋c)＋(＋a) bca≥2(a＋b＋c)．
11
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案
a2b2c2
即＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2
当且仅当＝b，＝c，＝a，
bca即a＝b＝c时取等号.
[例2] (1)求当x>0时，f(x)＝
2x
的值域； x＋1
2利用基本不等式求最值 3
(2)设0 219 (3)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． xy [思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． 2x2 [解] (1)∵x>0，∴f(x)＝2＝. 1x＋1 x＋x111∵x＋≥2，∴0<≤. x12 x＋x ∴0 (2)∵0 2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2? 2x＋?3－2x??29 2??＝2. 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． 49 ∴y＝4x(3－2x)的最大值为. 219 (3)∵x>0，y>0，＋＝1， xy 19?y9x ＋(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. ∴x＋y＝??xy?xyy9x19 当且仅当＝，又＋＝1， xyxy即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时， 有(x＋y)min＝16. 12 2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行： (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决． 8 3．已知x＞0，则2x＋的最小值和取得最小值时的x值分别是( ) xA．8,2 C．16,2 8 解析：2x＋≥2x答案：A 4．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是( ) A．40 C．4 x＋4y 解析：∵x，y∈R＋，∴4xy≤. 2x＋4y ∴xy≤＝10.∴xy≤100. 4∴lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2. 答案：D 5．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) 24 A. 5C．5 13 解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝5， yx 13?3x12y ∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)??y＋x?＝y＋x＋9＋4≥2 4y)≥25， ∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号． ∴3x＋4y的最小值是5. 13 B．8,4 D．16,4 88 2x·＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时，取“＝”号，故选A. xx B．10 D．2 28 B． 5 D．6 3x12y·＋13＝25，∴5(3x＋yx 2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案 答案：C [例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数． (2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ [思路点拨] (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用； (2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式． [解] (1)由题意可设 k3－x＝， t＋1 将t＝0，x＝1代入，得k＝2. 2 ∴x＝3－. t＋1当年生产x万件时， ∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， 2 ∴年生产成本为32x＋3＝32?3－t＋1?＋3. 利用基本不等式解决实际问题 ?? 当销售x万件时， 21 年销售收入为150%?32?3－t＋1?＋3?＋t. ????2由题意，生产x万件化妆品正好销完， 由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， －t2＋98t＋35 得年利润y＝(t≥0)． 2?t＋1?－t2＋98t＋35?t＋132? (2)y＝＝50－?2＋t＋1?2?t＋1???≤50－2 t＋132 ×＝50－2 16＝42， 2t＋1 14
2017-2018学年人教A版高中数学选修4-5全册教学案
