北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷
一、选择题
（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知集合 ， ，且 、 都是全集 ( 为
实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）．
A.
B. 或 C. D.
2. 下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为
A.
B.
C.
的是（ ）．
D.
3. 已知双曲线
A.
的一条渐近线倾斜角为 B.
C.
，则 （ ）．
D.
4. 下列不等式成立的是（ ）．
A.
B. C. D.
5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于
的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如
素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（ ）． A.
B.
C.
D. 以上都不对
，
．在不超过 的
6. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是(
) ， ，则
，
A. 若 则
， ， B. 若
则
，
， C. 若 ， ，则
， D. 若
7. 数列
条件．
的通项公式为 ．则“ ”“是 为递增数列”的（ ）
A. 必要而不充分 C. 充分而不必要
B. 充 要
D. 即不充分也不必要
8. 设函数
A.
，则使得
B.
C.
成立的 的取值范围是（ ）． D.
9. 已知函数 ．下列命题：①函数 的图象关于原点对称；②函数 是周期函
的图象没有公共点，
数；③当 时，函数 取最大值；④函数 的图象与函数 其中正确命题的序号是（ ）． A. ①④
B. ②③
C. ①③④
D. ①②④
10. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点
到这个平面的距离．已知平面 ， ， 两两互相垂直，点
，点 到 ， 的距离都是 ，
点 是 上的动点，满足 到 的距离与 到点 的距离相等，则点 的轨迹上的点到 的距离 的最小值是（ ）． A.
B.
C.
D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 如图，在复平面内，复数
， 对应的向量分别是 ， ，则 ．
12. 某高中共有
中抽取
人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从
．
人，那么高二年级被抽取的人数为
13. 角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
是
．
，则
的值
14. 平面向量
．
， ， ，且 与 的夹角等于 与 的夹角， 则
15. 以
，
为圆心的两圆均过 ，则点
，与 轴正半轴分别交于
．
，
，且满足
的轨迹方程为
16. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详
见选票．这 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之
“我身边的榜样”评选选票 候选人 甲 乙 丙 .同意画“ .每张选票“ 符号 ， ， ，则本次
．
注: ”，不同意画 ． . . . . ”的个数不超过时才为有效票． . . . . . . . . . . . .
三、解答题
（本大题共6小题，共80分）
17. 如图所示，已知
且
平面
．
， ， 为等边三角形， 为 边上的中点，
（ 1 ）求证： （ 2 ）求证：平面 （ 3 ）求该几何体
面 ． 平面
．
的体积．
18. 在锐角
中， 、 、 分别是角 、 、 的对边， ，且
（ 1 ）求角 的大小； （ 2 ）求函数
的值域．
．
，
19. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了
数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入（单位：百元）
频数 频率 赞成人数
（ 1 ）若所抽调的
方图．
名市民中，收入在
的有
名市民，他们月收入频
名，求 ， ， 的值，并完成频率分布直频率 组距
收入 百元 （ 2 ）若从收入（单位：百元）在
的被调查者中随机选取 人进行追踪调查，选中的 人的分布列与数学期望．
中恰有 人赞成“楼市限购令”，求
（ 3 ）从月收入频率分布表的 组市民中分别随机抽取 名市民，恰有一组的 名市民都不赞成
“楼市限购令”，根据表格数据，判断这 名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．
20. 已知函数
（ 1 ） 当
时，求
．
的单调区间．
的切线，若 的斜率存在最小值 ，求
（ 2 ）设直线 是 曲 线
时切线 的方程．
（ 3 ）已知
分别在
的值，并求取得最小斜率
，
（
）处取得极值，求证：
．
21. 已知椭圆
的两个焦点分别为
与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
，
．点
（ 1 ）求椭圆 的方程； （ 2 ）已知点 的坐标为
，点 的坐标为
，
，
．过点
任作直线 与椭圆 相
交于 ， 两点，设直线
，试求
满足的关系式．
的斜率分别为 , ， ，若
22. 对于非负整数集合 （非空），若对任意 ，
为一个好集合．以下记
为 的元素个数．
，或者
，或者 ，则称
（ 1 ）给出所有的元素均小于 的好集合．（给出结论即可） （ 2 ）求出所有满足 （ 3 ）若好集合 满足
倍．
的好集合．（同时说明理由）
，求证： 中存在元素
，使得 中所有元素均为
的整数
北京十一中学2019-2020学年第二学期高三数学一模试卷 及答案(含解析)
