(18)解：（本小题满分12分）
（Ⅰ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD
从而BD2+AD2= AB2，故BD?AD…………………………………………………………3分 又PD?底面ABCD，可得BD?PD
所以BD?平面PAD. 故 PA?BD…………………………………………………………5分
解法二：取AB中点为E，连接DE, 因为?DAB?60?,AB?2AD，故AD=AE，ADE是等腰三角形，∵AE=EB=DE, ∴?AED??EBD??BDE?2?EBD?60,即?ADB?90,故BD?AD
又PD?底面ABCD，可得BD?PD
所以BD?平面PAD. 故 PA?BD…………………………………………………………5分
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
00A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。
uuuvuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)…………………………………………7分
uuur??n?AB?0,设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则?uur
??n?PB?0, 即 ?????x?3y?03y?z?0
因此可取n=(3,1,3)……………………………9分
uur??m?PB?0,设平面PBC的法向量为m，则 ? uuur??m?BC?0,可取m=（0，-1，?3） cosm,n??427……………………………11分 ??727故二面角A-PB-C的余弦值为 ?（19）解（本小题满分12分）
27…………………………………………………………12分 7（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为
22?8=0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率100的估计值为0.3。…………………………………………………………3分
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为
32?10?0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的100估计值为0.42 …………………………………………………………6分
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间?90,94?,?94,102?,?102,110?的频率分别为0.04，,054,
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0.42，因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, ………………………8分 即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68………………………………………………12分 (20）解：（本小题满分12分）
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuuruuuruuur所以MA=（-x,-1-y）, MB=(0,-3-y), AB=(x,-2). …………………………………………3分 uuuruuuruuur再由题意可知（MA+MB）?AB=0, 即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0.
12x-2. …………………………………………………………6分 41211'(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以l的斜率为x0
42212因此直线l的方程为y?y0?x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x0?0。………………………9分
2所以曲线C的方程式为y=则O点到l的距离d?2|2y0?x0|2x0?4.又y0?12x0?2，所以 412x0?4142d?2?(x0?4?)?2,
222x0?4x0?42当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2. …………………………………………………12分
（21）解：(本小题满分12分)
?(（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)bx?…………………………………………………………3分 22(x?1)x
?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即
2f'(1)??,??2?b?1,??a1
?b??,??22
解得a?1，b?1。………………………………………6分
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以 x?1x
lnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。
x?1x1?x2x(k?1)(x2?1)考虑函数h(x)?2lnx? (x?0)，则
x(k?1)(x2?1)?2xh'(x)?。………………………………………8分 2xk(x2?1)?(x?1)2( I )设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，故
x21h(x)?0； 21?x1当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
1?x2lnxklnxk从而当x>0,且x?1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.……………………9分
x?1xx?1x1'（ ii ）设0
1?k11h（1）=0，故当x?（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。……………10分 21?k1?x1'（iii）设k?1.此时h（x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛
1?x2当x?(0,1)时，h(x)?0，可得
盾。 …………………………………………………………11分
综合得，k的取值范围为（-?，0] …………………………………………………………12分 （22）（本小题满分10分）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 2分 即
ADAE?.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ACAB因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。………………………………5分
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2，AB=12. …………………………………………………………8分
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
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由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. 从而HF=AG=5，DF=
1(12-2)=5. 2故C,B,D,E四点所在圆的半径为52…………………………………………………………10分 （23）（本小题满分10分）解：
（I）设P(x,y),则由条件知M(
xy,).由于M点在C1上，所以 22?x??2cosa,???2??? 即 y??2?2sina????2?从而C2的参数方程为
s??x?4coa?? …………………3分 y?4?4sian???x?4cos?（?为参数） ………………………………………………5分 ??y?4?4sin?（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为??8sin?。 射线??射线???3与C1的交点A的极径为?1?4sin与C2的交点B的极径为?2?8sin?3，………………………………………………7分 。………………………………………………9分
?3?3所以|AB|?|?2??1|?23. …………………………………………………………10分 （24）（本小题满分10分）解：
（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。 由此可得 x?3或x??1。
故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。………………………………………5分 (Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组
?x?a?x?a 或? ?x?a?3x?0a?x?3x?0???x?a?x?a????aa即 x? 或x?? ???4?2因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??a2?
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由题设可得?a= ?1，故a?2 …………………………………………………………10分 22011年全国1卷数学理试题和答案 第 10 页 共 10 页
2011年全国高考理科数学试题含答案（新课标卷）
