新教材高中数学1.2常用逻辑用语1.2.1必要条件与充分条件一课一练(含解析)北师大版必修一

第一章预备知识

§2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件

知识点1 充分条件与必要条件

1.☉%￥61@80￥#%☉(多选)(2020·通钢一中检测)下列命题中,真命题是( )。

2

A.“x>0”是“x>0”的必要条件 B.“xy=0”是“x=0”的必要条件 C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件

2

D.“|x|>1”是“x不小于1”的必要条件 答案：AB 解析：

2.☉%8￥03@*￥8%☉(2020·山东东营一中月考)用“充分条件”和“必要条件”填空。 (1)“xy=1”是“x=y=1”的 。 答案：必要条件

解析：∵x=y=1?xy=1。

(2)“△ABC△A'B'C'”是“△ABC△A'B'C'”的 。 答案：充分条件

解析：三角形全等能推导出三角形相似。 (3)“0

解析：∵|x-2|<4,∴-4

3.☉%*2@3￥46@%☉(2020·云南曲靖一中周练)指出下列各组命题中p是q的什么条件。(充分不必要条件,必要不充分条件,既不充分也不必要条件) (1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; 答案：

(2)p:x>1,q:x>1; 答案：

(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; 答案：

(4)p:|a·b|=a·b,q:a·b>0。 答案：

2

知识点2 充要条件

4.☉%@@0*713*%☉(2020·武汉二中月考)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?B”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C

解析：若A∩B=A,则对任意x∈A,x∈(A∩B),又(A∩B)?B,则x∈B,所以A?B,充分性得证;若A?B,则对任意x∈A,有x∈B,从而x∈(A∩B),反之若x∈(A∩B),则x∈A,因此A∩B=A,必要性得证。因此为充要条件。故选C。

5.☉%@@0*87#7%☉(2020·绍兴一中月考)设集合A={x|x>-1},B={x||x|≥1},则“x∈A且x?B”成立的充要条件是( )。 A.-1-1 D.-1-1,x?B?-1

6.☉%5@￥*53*7%☉(2020·济宁一中期中)命题p:x>0,y<0,命题q:x>y,??>??,则p是q的什么条件?

答案：解:由x>0,y<0?x>y,>,所以p是q的充分条件;

????11

11

由x>y,??>???????>0,y-x<0,

所以xy<0,即x,y异号,又x>y,所以x>0,y<0,所以p是q的必要条件。 综上,p是q的充要条件。

7.☉%￥92￥61@@%☉(2020·长沙一中月考)判断下列各题中p是q的什么条件。 (1)p:|x|=|y|,q:x=y;

答案：解:∵|x|=|y|不能推出x=y,但x=y?|x|=|y|,∴p是q的必要不充分条件。 (2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形;

答案：∵△ABC是直角三角形不能推出△ABC是等腰三角形, △ABC是等腰三角形也不能推出△ABC是直角三角形, ∴p是q的既不充分也不必要条件。

(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形。

答案：∵四边形的对角线互相平分不能推出四边形是矩形, 四边形是矩形能推出四边形的对角线互相平分, ∴p是q的必要不充分条件。 题型1 利用定义法判断充要关系

8.☉%#62￥*3#6%☉(2020·桂林中学月考)条件“a>√2”是“a>2”成立的( )条件。 A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要 答案：B

解析：由a>2解得a>√2或a<-√2,则“a>√2”可推得“a>2”,反之不成立,故“a>√2”是2

“a>2”成立的充分不必要条件。故选B。

2

2

2

11??-??

9.☉%*601@@#7%☉(2020·黄冈中学月考)x∈R,则“x=-1”是“x-5x-6=0”的( )条件。 A.充要 B.充分不必要

C.必要而不充分 D.既不充分也不必要 答案：B

2

解析：x-5x-6=0,可化为(x+1)(x-6)=0, 解得x=6或x=-1。

∴“x=-1”?“x=6或x=-1”,而反之不成立。

2

∴“x=-1”是“x-5x-6=0”的充分不必要条件。 故选B。

22

10.☉%0￥￥48￥*5%☉(2020·武汉中学检测)设a,b∈R,则“a>b”是“a>b”的( )。 A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 答案：B

222222

解析：若a=1,b=-4,满足a>b,但a=1,b=16,此时a>b不成立;若a>b,如a=-4,b=1,此时a>b22

不成立,故“a>b”是“a>b”的既不充分也不必要条件,故选B。

11.☉%7*03#3￥*%☉(2020·华师一附中检测)对于实数a,b,则“a”的( )。

????11

2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：D

解析：当a??,比如a=-1,b=2,故不是充分条件;反之,若??>??,不一定有aB”是“a>b”的( )。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C

解析：在△ABC中,因为角大对应的边大,边大对应的角大,所以A>B是a>b的充要条件,故选C。

题型2 利用集合法判断充要关系

13.☉2#￥3**%☉“x>2”是“x>1”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：结合题意可知x>2可以推出x>1,但是x>1并不能保证x>2,故为充分不必要条件,故选A。

14.☉0##6#￥%☉(2020·西安中学月考)设p:角α是钝角,设q:角α满足α>2,则p是

π

11

11

q的( )。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A

解析：因为钝角的取值范围为(2,π),所以当角α是钝角时,角α满足α>2成立,但当角α满足α>2成立时,角α不一定是钝角,所以p是q的充分不必要条件,故选A。

15.☉%6#*￥@319%☉设x∈R,则“x≥0”是“|x-1|≤1”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B

解析：求解绝对值不等式|x-1|≤1可得0≤x≤2,据此可知“x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件。故选B。

16.☉T#@*￥79%☉(多选)(2020·南昌二中检测)设a∈R,则a>4的必要不充分条件可以是( )。

A.a>1 B.a<1 C.a≥4 D.a<5 答案：AC 解析：由题意,当a>4时,a>1成立,当a>1成立时,a>4不一定成立,所以a>1是a>4的必要不充分条件,同理可知a≥4是a>4的必要不充分条件。故选AC。 题型3 利用等价命题法判断充要关系

17.☉%@*#0175@%☉王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )。 A.必要条件 B.充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A

解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件,故选A。

18.☉##@#91%☉(2020·南昌莲塘一中月考)实数a,b,c不全为0的等价条件是( )。 A.实数a,b,c均不为0

B.实数a,b,c中至多有一个为0 C.实数a,b,c中至少有一个为0 D.实数a,b,c中至少有一个不为0 答案：D

解析：实数a,b,c不全为0等价于a,b,c中至少有一个不为0,故选D。 题型4 利用传递法判断充要关系

19.☉%0￥@71##6%☉(2020·银川一中期中)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )。 A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件

D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 答案：A 解析：

π

ππ

20.☉%3@@9*7￥6%☉(2020·兰州一中周练)已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么: (1)s是q的什么条件?

答案：解:p,q,r,s之间关系如图所示:

∵q?s,s?r?q,∴s是q的充要条件。 (2)r是q的什么条件?

答案：∵r?q,q?s?r,∴r是q的充要条件。 (3)p是q的什么条件?

答案：∵q?r,r?p,∴q?p。从而可知p是q的必要条件。 题型5 利用充分必要条件求参数的取值范围

2

21.☉%##4132￥#%☉(2020·合肥一中检测)“不等式x-2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是( )。 A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≥2 答案：D

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解析：“不等式x-2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为“(-2)-4m≤0”,即“m≥1”, 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件,

2

故“不等式x-2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”,故选D。

22.☉7@*7@*0%☉(2020·安庆一中月考)已知p:x-a>0,q:x>1,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围为( )。 A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 答案：D

解析：已知p:x-a>0,x>a,q:x>1,若p是q的充分条件,根据小范围推大范围得到a≥1,故答案选D。

23.☉%0#61#@7*%☉(2020·合阳中学检测)已知命题p:3a0),命题q:1

23

p的必要不充分条件,求实数a的取值范围。

答案：

解:若q是p的必要不充分条件。

3??≥1,13

3解得≤a≤。 则有{

384??≤2,∴实数a的取值范围是≤a≤。

3

8

1

3

题型6 充要条件的证明

222

24.☉%*4@@118￥%☉(2020·玉林中学检测)证明:a+b+c=ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形。(这里a,b,c是△ABC的三条边)

答案：证明:充分性:如果△ABC为等边三角形,那么a=b=c,

222

所以(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,

222

所以a+b+c-ab-bc-ca=0,

222

所以a+b+c=ab+bc+ca。

222

必要性:如果a+b+c=ab+bc+ca,

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那么a+b+c-ab-bc-ca=0,