2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）样卷（三）
一、单选题
1．已知全集为实数集R，集合A?x?2?x?2，B?xx?2x?0，则A等于（ ） A．?0,2? 【答案】A
【解析】解一元二次不等式求得集合B，由此求得【详解】
因为x?2x?x?x?2??0，所以
2R???2??RB?B．?0,2 ?C．?0,2? D．?0,2?
B，进而求得A?RB?.
B?xx2?2x?0??x?2?x?0?，
所以
R??B??xx??2或x?0?．又因为A??x?2?x?2?，
所以A?故选：A
?RB???x0?x?2???0,2?．
【点睛】
本小题主要考查集合补集、交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知i为虚数单位，则i?i2?i3?????i2020等于（ ） A．i 【答案】D
【解析】利用虚数单位的周期性可求i?i2?i3?????i2020的值. 【详解】
由于i4n?1，i4n?1?i，i4n?2??1，i4n?3??i， 所以i?i?i?????i故选：D. 【点睛】
本题考查复数的计算，注意虚数单位满足i4n?a?ia，其中n,a?Z，本题属于基础题. 3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB?2sinCcosA?0，则角B的取值范围为（ ）
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232020B．1 C．?i D．0
?505?i?1?i?1??0．
?π?A．?0,?
?6?【答案】A
?π?B．?0,?
?3??ππ?C．?,?
?62??π?D．?,π?
?6?
【解析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，得到2b2?a2?c2，结合基本不等式求得cosB的取值范围，由此求得B的取值范围. 【详解】
b2?c2?a2由题意及正弦定理，得b?2ccosA?0，由余弦定理，得b?2c??0，即
2bc2b2?a2?c2．
a2?c2a?c?a2?c2?b2a2?3c223ac3， 又2cosB?????2ac2ac4ac4ac222当且仅当a?3c时取等号，所以B??0,?．
6??π??故选：A 【点睛】
本小题主要考查正弦定理和余弦定理，考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 4．若
的展开式中的系数是80，则实数a的值为
C．
D．2
A．-2 B．【答案】D 【解析】所以
.选D.
的展开式中含的项为，由题意得，
5．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO·BC的值是
A．－8 【答案】D 【解析】【详解】
B．－1 C．1 D．8
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因为AO?AC?CO?AB?BO，所以AO?而BC?AC?AB?BO?CO，所以BC?1(AC?BO?AB?CO)， 21(AC?AB?BO?CO)，则 2AO?BC??1(AC?AB?CO?BO)(AC?AB?BO?CO) 41(AC?AB)(AC?AB)?(AC?AB)(BO?CO)?(CO?BO)(AC?AB) 4?(CO?BO)(BO?CO)
?1(AC|2?AB|2?AC?BO?AC?CO?AB?BO?AB?CO 4?CO?AC?CO?AB?BO?AC?BO?AB?BO|2?CO|2) 1?AB|2)?(AC?BO?AB?CO)
21?AB|2)?[(AB?BC)?BO?AB?CO]
21?AB|2)?(AB?BC?BC?BO)
21?AB|2)?AO?BC
2122所以AO?BC?(AC|?AB|)?8，故选D
2?x2??2?x,x?06．若函数f(x)??x?2有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）．
??e?a,x?01(AC|241?(AC|241?(AC|241?(AC|24A．{1}[e2,??) 【答案】B
B．{1}(e2,??) C．[1,e2] D．(1,e2]
【解析】结合题意，将零点问题转化为函数交点问题，计算a的范围，即可。 【详解】
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a，故x?0时，由bn?an3得x?2或x?4（画图确定只有两个解）
nx2??2?x,x?0x?2f?x???x?2?a?0?x?0?有1个零点，画出有3个零点等价于e??e?a,x?0y?ex?2?x?0?的图像，数形结合可得实数a的取值范围是?1???e2,???，故选B.
【点睛】
本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，难度中等。 7．已知函数f?x??sin?x?3cos?x???0?的零点构成一个公差为把函数f?x?的图象沿x轴向右平移下列说法正确的是( ) A．在?,?上是增函数 42C．函数g?x?是偶函数
?的等差数列，2?个单位，得到函数g?x?的图象．关于函数g?x?，6??????B．其图象关于直线x?
?2
对称
??2??D．在区间?,上的值域为
?63????3,2?
??【答案】D
【解析】化简f（x）=2sin（ωx?π），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x， 3?π2π???由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由x??，?时，求得函63数g（x）值域得解. 【详解】
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f（x）＝sinωx?3cosωx＝2sin（ωx?由函数f（x）的零点构成一个公差为则周期T＝π，即ω＝2， 即f（x）＝2sin（2x?π）， 3π的等差数列， 2π）， 3π个单位，得到函数g（x）的图象， 6把函数f（x）的图象沿x轴向右平移则g（x）＝2sin[2（x?ππ）?]＝2sin2x， 63π3ππ3π当2kπ?≤2x≤2kπ?,即kπ?≤x≤kπ?, y＝g（x）是减函数，故y＝g
2244ππ（x）在[，]为减函数，
42πkππkππ?（k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线x??（k∈Z）当2x=kπ?即x?22424对称,且为奇函数， 故选项A，B，C错误，
π4π?π2π??当x?，?时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[?3，2]，
33?63?故选项D正确， 故选：D． 【点睛】
本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题
8．已知正四面体A?BCD的内切球的表面积为36?，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A?BCD，则所得截面的面积为（ ） A．272 【答案】C
【解析】先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可. 【详解】
解：由内切球的表面积S表?4?R?36?，得内切球半径R?3 如图，过点A作AH?平面BCD，则点H为等边BCD的中心 连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接AE
2B．273 C．542 D．543
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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）样卷（三）（解析版）
