函数及其性质：第2讲函数的单调性

函数的单调性

求函数的单调区间 【知识简介】

对于高考中函数的单调性是重点考查内容．备考时要熟记基本初等函数的图象和性质．往往以选择题、填空题形式出现，难度中等，解答题部分一般与导数结合，考查难度较大． 【典例】 1(1)(2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数

1(2)(2014·天津，4)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )

2A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)

1

(2)因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y＝x2－4的单调减区间，结

2合函数的定义域x2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)． 【答案】 (1)A (2)D

(2015·河南洛阳二模，6)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0

1

0，? B．[a，1] A.??2?1

，＋∞? D．[a，a＋1] C．(－∞，0)∪??2?

11

，＋∞?，单调递增区间为?0，?. B 由图象可知，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和??2??2?1

∵0

2为[a，1]，故选B.,

判断函数单调性(单调区间)的常用方法

(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．

(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．

(3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表：

函数 内函数t＝φ(x) 外函数y＝f(t) y＝f(φ(x)) 增 增 增 增减情况 增 减 减 减 增 减 减 减 增 y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．

(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． 函数的值域 【知识简介】

确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性，通常出现在选择题或填空题中，函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数，或由基本初等函数经过变换得到．在备考时熟练掌握几个常见函数模ax＋ba

型的图象与性质，如y＝(c≠0)或y＝x＋(a≠0)．此外，在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查，

xcx＋d属于中高档题．

【典例】 2(1)(2014·安徽，9)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ) A．5或8 B．－1或5 C．－1或－4 D．－4或8

??－x＋6，x≤2，(2)(2015·福建，14)若函数f(x)＝?(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是

?3＋logax，x>2?

________．

?

?－x－a＋1，－1

a

2 【解析】 (1)①当－1≤－，即a≤2时，f(x)＝?2

a?3x＋a＋1，x≥－.?2

aa

易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即1－＝3.所以a＝－4.

22－3x－a－1，x≤－，?2

?a

a②当－1>－，即a>2时，f(x)＝?

2x＋a－1，－

2

??3x＋a＋1，x≥－1.aa

易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即－1＝3，故a＝8.

22综上可得a＝－4或a＝8.

a

－3x－a－1，x≤－1，

【答案】 (1)D (2)(1，2]

1

(2015·福建福州一模，6)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－

21)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A．2 B．3 C．4 D．－1

常见求函数值域的方法

(1)配方法：对形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)形式的函数，配方转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求 解．

(2)单调性法(图象法)：若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(b)；若f(x)在[a，b] 上单调递减，则f(x)min＝f(b)，f(x)max＝f(a)．

a

(3)对于形如y＝x＋(a>0)的函数，利用基本不等式：a＋b≥2ab(a>0，b>0)求最值．

x(4)导数法． 单调性的应用 【知识简介】

函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 【典例】 3(1)(2015·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A．a

(2)(2013·安徽，4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(3)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．

【解析】 (1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴m＝0， ∴f(x)＝2|x|－1.图象如图，

－m|

－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b

由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． ∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.

(3)由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x－1|<2，解得－1

【答案】 (1)C (2)C (3)(－1，3),

比较函数值大小的思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

含“f”号不等式的解法

首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．

利用函数的单调性求参数的取值范围

已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上