第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点集训 【p168】
A组
1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
2
A.若方程x+x-m=0有实根,则m>0
2
B.若方程x+x-m=0有实根,则m≤0
2
C.若方程x+x-m=0没有实根,则m>0
2
D.若方程x+x-m=0没有实根,则m≤0
【解析】将条件和结论同时否定,再将条件换成结论,结论换成条件. 【答案】D
2.已知命题:“若x≥0,y≥0,则xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】由题得原命题“若x≥0,y≥0,则xy≥0”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.
逆命题为:“若xy≥0,则x≥0,y≥0”,是假命题,所以否命题也是假命题, 所以四个命题中,真命题的个数为2. 故答案为B. 【答案】B
x-10
3.已知条件p:log2(x-2)≤3,条件q:2<1,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】p等价于x∈(2,10],q等价于x∈(-∞,10),两集合无包含关系. 【答案】D
4.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
2
B.命题“若x>1,则x>1”的否命题
2
C.命题“若x=1,则x+x-2=0”的否命题
2
D.命题“若x>0,则x>1”的逆否命题
【解析】A中,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,是真命题;
2
B中,否命题为“若x≤1,则x≤1”,是假命题;
2
C中,否命题为“若x≠1,则x+x-2≠0”,是假命题; D中,原命题是假命题,从而其逆否命题也是假命题. 故选A. 【答案】A
1
5.在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要的条件是( )
2
xA.x>0B.x<1 1
C.0 1x-1 【解析】∵>1,∴<0,∴0 xx11?1??1?∵?0,??(0,1),?0,?≠(0,1),∴0 2x?2??2? 件,选D. 【答案】D 6.命题“若a-b=0,则(a-b)(a+b)=0”的逆否命题为__________________. 【解析】命题“若a-b=0,则(a-b)(a+b)=0”的逆否命题为:若(a-b)(a+b)≠0,则a-b≠0. 【答案】若(a-b)(a+b)≠0,则a-b≠0 22 7.已知p:|x-1|>2,q:x-2x+1-a≥0(a>0),若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是______________. 【解析】由题可得:p:x>3或x<-1, q:x2-2x+1-a2≥0,[x-(1-a)]·[x-(1+a)]≥0, ∵a>0,∴1-a<1+a. 解得x≥1+a或x≤1-a. 因为q是p的必要不充分条件,故: ?1+a≤3, ? ?1-a≥-1,解得00, 【答案】(0,2] 2 8.已知命题p:“方程x+mx+1=0有两个不相等的实根”,命题p是真命题. (1)求实数m的取值集合M; (2)设不等式(x-a)(x-a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的充分条件,求a的取值范围. 2 【解析】(1) 命题p:方程x+mx+1=0有两个不相等的实根, 2 Δ=m-4>0,解得m>2,或m<-2. M={m|m>2,或m<-2}. (2) 因为x∈N是x∈M的充分条件,所以N?M, N={x|a 1.唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今,“道在人间或可传,小还轻变已多年.今来海上升高望,不到蓬莱不是仙”.由此推断,后一句中“是仙”是“到蓬莱”的( ) A.必要条件B.充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【解析】由题得,“是仙”一定“到蓬莱”,所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件.由题得,“到蓬莱”不一定“是仙”,所以“是仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件.故选B. 【答案】B 2.已知非零向量a,b, 则“a·b>0”是“a,b夹角为锐角”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零,不一定是锐角,故充分性不成立. 而a与b的夹角为锐角或零时,有a·b>0,必要性成立,故选B. 【答案】B 1 3.原命题p:“若x≥1,则x+≥2”,关于它的逆命题、否命题、逆否命题真假性的x判断依次如下,正确的是( ) A.真、假、真B.假、假、真 C.真、真、假D.假、假、假 11 【解析】命题p的否命题是:“若x<1,则x+<2”.当x=时,不成立,∴否命题 x2 是假命题,由此可知逆命题也是假命题;由均值不等式可知原命题是真命题,所以逆否命题是真命题.故选B. 【答案】B 4.下列命题正确的序号是__________. ab①命题“若a>b,则2>2”的否命题是真命题; ②命题“a、b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是真命题; ③若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件; 12 ④方程ax+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±. 2 abab【解析】对于①,命题“若a>b,则2>2”的逆命题是“若2>2,则a>b”,逆命题为真命题,所以否命题为真命题,①正确;对于②,因为命题“a,b都是偶数,则a+b是偶数”为真命题,则其逆否命题为真命题,②正确;对于③,若p是q的充分不必要条件,即若p则q为真命题,若q则p为假命题,所以若綈q则綈p为真命题,若綈p则綈q为假命题,所以綈p是綈q的必要不充分条件,③正确;对于④,当a=0时,方程也是有唯一解,所以④错误,综上,正确的有①②③. 【答案】①②③
2020版高考数学总复习命题及其关系、充分条件与必要条件考点集训文(含解析)
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