《函数的单调性与导数》教学设计
一、教学设计思路：
现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。 二、教案
授课人 课 题 童家平 学科 数学 学校 宣城二中 3、3、1 函数的单调性与导数 ㈠ 知识与技能 ⒈ 理解利用导数判断函数单调性的原理 ⒉ 掌握利用导数判断函数单调性的方法及步骤 ㈡ 过程与方法 通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法 ㈢情感态度与价值观 通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学目标 1
教学重点 教学难点 教学方法 利用导数判断函数的单调性 ⒈ 探究函数的单调性与导数的关系 ⒉ 如何用导数判断函数的单调性 实验，归纳探究式 多媒体课件，几何画板 学生活动 设计意图 教具、实验 情况 教师活动 Ⅰ、创设情境，引入新课 问题1 高台跳水 （幻灯片1） 已知起跳t秒后，运动员相对于水面的高度h（单位：m）可用函数h(t)=－4.9t2＋6.5t＋10表示。 问：你能确定该函数的单调区间吗？ 师：说的非常具体。因为二次函数的图像我们非常熟悉。请同学们画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？ （师在黑板上画出函数图像） 师赞同学生2的说法，强调定义域。 师：还有其他方法吗？ 师：的确，定义是解决问题的最根本方法，同学们不要瞧不起定义啊！并简略回顾其步骤，但定义法较繁琐。 问题2 （幻灯片2） 试确定函数f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。 师：你能画出该函数的图像吗？ 定义法又太繁，那该如何解决呢？ 揭示并板书课题：函数的单调性与导数 Ⅱ、探究新知 问题3 仍以函数h(t)=－4.9t2＋6.5t＋10为例来考察单调性与导数有什么关系。 下面请结合函数的图像与导数来研究。 学生积极举手发言 创设情境，引导学生 复习回顾研究函数单学生1：画出该函数的图像，从调性的方法： 图像上直观获知其单调区间 ①观察图像的变化趋 势（图像必须能画出） 学生2： ②利用单调性的定义t∈(0,0.66) h(t)单调递增 （较繁琐） t∈(0.66,2.24) h(t)单调递减 要注意函数的定义域 学生思考，并积极举手发言 学生3：利用函数的单调性定义 由问题2 的提出 发现这两种方法的局 限性与缺点，产生认 知冲突。产生探究新学生陷入沉思？？？ 方法的求知欲，引入 新课。 探究活动1 学生根据函数的图像，探索研究单调性与导数的关系。 学生3回答（略） ⒈ 从旧知中探究发现新知。 ⒉ 让学生体会，如何研究一个新问题。并会在以后的学习中尝试运用。 y h(t) 0 0.66 2.24 x 师生共同总结，教师板书： t∈(0,0.66) h(t)单调递增 切线斜率大于0 即h’(t)＞0 t∈(0.66,2.24) h(t)单调递减 切线斜率小于0 即h’(t)＜0 问题4 这种规律是否具有一般性呢？ 我们可否再举一些函数看看？ （幻灯片 3） 1. 先看函数 y=x y=x2 y=x3 y=1/x 的图像,验证其是否具有这种规律. 2. 让学生任意举一个函数,(学过的和没学过的)验证结论是否成立. 这里教师利用几何画板作图，一 一验证。 师：通过以上，你发现了什么现象？ 师生共同总结：（幻灯片 4） 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间（a,b）内 如果f’(x)＞0，那么函数y=f(x) 在（a,b）上单调递增； 如果f’(x)＜0，那么函数y=f(x) 在（a,b）上单调递减； （教师简要板书） 问题5 反思1 上面的结论还可能有其他情况吗？同学们可讨论讨论。 师：好！提出问题比解决问题更重要！数学正是在不断的提出问题，并解决问题中发展的！ 那下面谁能解决这个问题？ 学生思维活跃，积极搜索已学函数,例举各种函数. 如 y=sinx; y=lnx; y=x2+x3; y=x+1/x; y=ex-x 学生状态兴奋，踊跃发言 学生4 ：函数的单调性与导数有着密切的关系 学生再次陷入沉思，并讨论。让学生代表发言 学生5：在（a,b）内，若恒有 f”(x)=0,那f(x)的单调性如何呢？ 学生6：f(x)在（a,b）内是常数函数！ 体会数形结合思想的运用 引导学生寻找实例支持 从中不仅验证单调性与函数的关系，更培养学生如何发现规律。 体会从特殊到一般的研究问题的思想方法 启发学生发现问题，并培养学生发现问题的意识及知道他的重要意义！ 养成反思的学习习惯，形成锲而不舍的钻研精神。 养成合作交流的科学态度！ 在这一系列发现问题并解决的过程中让学生获得一种成就感！从而更加喜爱数学！ 教师给与表扬！并归纳板书。 注：①若f(x)在某个区间内恒有f”(x)=0，则f(x)为常数函数。 反思2 从上述探究过程，我们是怎样解决问题的？ 教师归纳： ② 结论的探究思路或方法： 归纳推理 从特殊到更多，从简单到复杂，但仍然是由有限的例子归纳出的结论，在数学上是不严谨的，有时也 不可靠的，但确是一种重要的思维方式。这里就不证明了（待后证） Ⅲ. 应用举例 (幻灯片5) 例1 已知导函数f’(x)的下列信息 当1＜x＜4时， f’(x)＞0 当x＜1或x＞4时，f’(x)＜0 当x=1或x=4时， f’(x)=0 试画出函数f(x)的图像的大致形状。 教师投影若干学生的作业情况。并和学生共同分析。 注：“临界点” 例2 用导数研究高台跳水的函数h(t)=－4.9t2＋6.5t＋10 的单调性 注：①教师带领学生完成，并与前面图像法对比。 ②强调定义域； ③作出导函数h’(t)的图像与h(t)的图像作对比。 y h(t) 学生7: 从特殊中发现规律，再推广到一般的思维方法。 养成反思的习惯； 反思探究过程，让学生体会并明确什么是归纳推理，知道归纳推理的意义，并在以后的学习中加以运用! 学生思考，并在纸上画出函数图像 f(x) y 1 f(x) y 4 x 0 1 4 x 学生跟随老师，学会如何用导数求函数单调区间 y h'(t) 0 0.66 2.24 x 0 x 0.66 让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用导函数研究函数的必备技能。这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍！ 学会如何用导数求单调区间，同时再次验证用导数求导与图像求导的结果的一致性！ 例3 试确定函数f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。 教师给与规范的板书。（略） 注：强调步骤的完整性，最后要下结论。 问题6：反思 你有算法意识吗？你能归纳出用导数求函数单调区间的算法步骤吗？ 课堂练习：课本P93 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） f(x)＝x2－2x＋4; （2） f(x)＝ex－x Ⅳ。 课堂小结与作业 师：谈谈本节课你的收获？ 1.教师给与归纳：1.知识点总结 2.思想方法总结 2.思考：结合函数的单调性定义，思考在某个区间上函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与导数的正负的关系 3.作业 （略） 【板书设计】 学生尝试解决。 由学生归纳教师补充。 ① 确定函数定义域 ② 求函数的导函数 ③ 解不等式f’(x)＞0，f’(x)＜0 ④ 下结论 学生练习，并报出答案 学生纷纷举手发言 应用新知识解决之前不能解决的问题。 从中掌握如何具体的应用导数解决函数单调性问题。 ① 从算法角度明确如何操作，更清晰，易掌握 ② 渗透算法思想，多题归一思想，提高学习效率 ③ 培养解题后反思意识 及时巩固所学，形成技能 总结所学知识，并养成总结的学习习惯！ 课下思考，揭示导数为什么能反映函数单调性的本质。（留待下节课） 3、3、1 函数的单调性与导数（一）． 一．函数的单调性与导数的关系 二。例题 例1 例3 例2 练习 小结 三、点评：
1.回顾旧知，抛出新问题，产生认知冲突
本节课所学内容是：函数的单调性与导数。首先，教师从教材中的案例高台跳水作为情景，回顾如何求函数的单调区间的方法。进而提出问题，给出一个三次函数，我们应该如何求其单调区间，然而所学旧知识不能顺利求解，让学生产生强烈求知欲，使学生处于“愤”“悱”状态，调动了学生参与学习新知识的积极性。
《函数的单调性与导数》教学设计正式版
