绝密★启封前
2020全国卷Ⅱ高考压轴卷
其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)． 已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )
5
(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈)
13
A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.设集合A??xx2?2x?0?,B??yy?x2?2x,x?A?，则AUB?（） A．?0,2? B．??1,2? C．(??,2] D．[0,??) 2．复数z??3?i?i?i2017（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )
A．2?i B．2?i
C．4?i D．4?i
3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为( )
A.57. B.635
7C 8D.8
4．已知向量AB→与向量a＝(1，－2)的夹角为π，|AB→
|＝25，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为( )
A．(1,0) B．(0,1) C．(5，－8) D．(－8,5)
5.已知点P??sin3π4
，cos3π
4??落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，则θ的值为( ) A.π4B.3π5π7π
4C.4D.4
6.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，
7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD(m，n)表示m除以n的余数，例如MOD(8，3)?2．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出的值为 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
??x?0,8．已知由不等式??y?0,?kx?2,确定的平面区域?的面积为7，则的值
?y??y?x?4?0（）
A．-1或3 B．?1 C．?3 D．3
9.已知双曲线x2a?y22b2?1(a?0,b?0)与函数y?x的图象交于点P，若函数y?x的图象在点P处的切线
过双曲线左焦点F(?1,0)，则双曲线的离心率是
A. 5?132 B. 5?23?12 C. 2 D. 2
10.设A,B在圆x2?y2?1上运动，且AB?3，点P在直线3x?4y?12?0上运动，则PA?PB的最小
值为 A． B．
175 C．195 D． 11已知球错误!未找到引用源。表面上有三个点错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，球心错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离等于球错误!未找到引用源。半径的一半，则球错误!未找到引用源。的表面积为
(A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用
源。
12．关于函数f(x)?2x?lnx，下列说法错误的是（） （A）x?2是f(x)的极小值点
( B ) 函数y?f(x)?x有且只有1个零点 (C)存在正实数，使得f(x)?kx恒成立 (D)对任意两个正实数x1,x2，且x2?x1，若f(x1)?f(x2)，则x1?x2?4
第Ⅱ卷
注意事项：
须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答。 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.已知?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2?b2?c2?bc，bc?4，则?ABC的面积为
14若
?a??15的展开式中各项系数的和
2，则该展开式中的常数项为________．
??x?x????2x??x??15.已知f(x)为奇函数，函数g(x）与f(x)的图象关于直线y=x+l对称，若g(1)=4，
则f(一3）=____．
16．设函数f(x)＝(x－2)2(x＋b)ex，若x＝2是f(x)的一个极大值点，则实数b的取值范围___．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知数列{aa2n}中，1?1，其前项的和为Sn，且满足an?2Sn2S(n≥2).
n?1（1）求证：数列??1?S?是等差数列；
?n?（2）证明：当n≥2时，S11?2S1132?3S3?...?nSn?2.
18. （本小题满分12分）
交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30% 某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a?950，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．
19．（本小题满分12分）
如图，ABCD是平行四边形，EA?平面ABCD，
PD//EA,BD?PD?2EA?4，
AD?3，AB?5. F，G，H分别为PB， EB，PC的中点． （1）求证：DB?GH；
（2）求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值。
20. （本小题满分12分） 22设M,N,T是椭圆
x16?y12?1上三个点，M,N在直线x?8上的射影分别为M1,N1． （1）若直线MN过原点O，直线MT,NT斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值；
（2）若M,N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为(3,0)，?M1N1L与?MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．
21．(本小题满分12分)
定义在R上的函数f(x)满足f(x)?f?(1)2?e2x?2?x2?2f(0)x，g(x)?f(x12)?4x2?(1?a)x?a.
（1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数g(x)的单调区间；
（3）如果、e、满足|s?r|≤|t?r|，那么称比更靠近.当a≥2且x≥1时，试比较x和ex?1?a哪个更靠近lnx，并说明理由.
请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为??x?3?2cos?2sin?（为参数）.
?y??4?（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A(?2,0),B(0,2)，圆C上任意一点M(x,y)，求?ABM面积的最大值.
23．（本小题满分10分）
已知a?0,b?0，且a?2b?4a?2b
（1）证明a?2b?4；
（2）若(a?1)(b?1)?0，求
1log?3的最小值． 2alog2b2020全国卷Ⅱ高考压轴卷
理科数学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C A D D B B A C D C 以下为部分试题解析 1.解得集合A为?0,2? 集合B为y的值域1-1,0]AUB???1,2?,选B
3解析 三次摸球一共有8种不同的情况，列举如下：(红、红、红)，(红、红、黑)，(红、黑、红)，(红、黑、黑)，(黑、红、红)，(黑、红、黑)，(黑、黑、红)，(黑、黑、黑)，记“3次摸球所得总分为5”为事件A，则事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)，(红、黑、红)，(黑、红、红)，共3种情况，故所求的概率P(A)＝3
8.
4. 1解析] 设B(x，y)，则AB→＝(x－3，y＋4)，由已知得(x－3)2＋(y＋4)2＝(25)2，cosπ＝AB→·a|AB→＝|·|a|
x－3－2y＋4
25·5＝－1，即x－2y－1＝0，联立两方程解得???x＝1?，∴B(1,0)．
?
y＝0
5.解析 由sin3π3π
4>0，cos4<0知角θ是第四象限的角，
cos
3π∵tanθ＝4＝－1，θ∈10,2π)，∴θ7π
sin3π＝4.
4
6. 1解析] 连接OA、OB，OD，设⊙Ο的半径为R， 则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.
sin∠AOD＝ADAO＝5
13
. ∴∠AOD＝22.5°，即∠AOB＝45°.
∴S45π×132OACB－S△OAB＝1
弓形ACB＝S扇形360－2
×10×12≈6.33平方寸．
∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.
?7.【解析】作出不等式组?x?0,?y?0,表示的平面区域，如图所示，可知其围成的区域是等腰直角三角形
??y?x?4?0且面积为．由于直线y?kx?2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足y?kx?2，当k?0时，y?2，此时平
2020全国卷Ⅱ高考压轴卷(理科数学)
