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奥数专题——裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考 例如
111，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，??3412把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
11n?1n???nn?1n(n?1)n(n?1)
n?1?n1??n(n?1)n(n?1) 即
111?? nn?1n(n?1)111??
n(n?1)nn?1 或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1. 计算：
1111 ???……?1985?19861986?19871987?19881994?1995111 ???1995?19961996?19971997 分析与解答：
w. . .v
. . . .
111??1985?198619851986111??1986?198719861987111 ??1987?198819871988……111??1994?199519941995111??1995?199619951996
111??1996?199719961997 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
11111???…??1985?19861986?19871987?19881995?19961996?1997
1?1997111111111??????……???198519861986198719871988199519961996
111???199719971985? 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：? 公式的变式
1111??…?
11?21?2?31?2?3?…?10012?
1?2?…?nn?(n?1)w. . .v
. . . .
当n分别取1，2，3，……，100时，就有
12?11?212?1?22?312 ?1?2?33?412?1?2?3?44?512?1?2?…?100100?101???…?11?21?2?31?2?…?10022222????…??1?22?33?499?100100?10111111???…??) ?2?(1?22?33?499?100100?101111111111?2?(1??????…????)22334991001001011?2?(1?)101100101200 ?
10199?1101?2?
例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式符号所代表的数的数的积是多少？
1111111??中这两个6()??w. . .v
奥数专题——裂项法含答案
