专题限时集训(十) 三角恒等变换与解三角形
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π?3?π??1．已知α∈?－，0?，cos α＝，则tan?α＋?＝________. 4?5?2??
14?π?2
－ [由α∈?－，0?知，sin α<0，所以sin α＝－1－cosα＝－，tan α＝75?2?sin α4＝－， cos α3
π?tan α＋11?所以tan?α＋?＝＝－.] 4?1－tan α7?
?π?3?π?4
2．已知sin?x＋?＝，sin?x－?＝，则tan x＝________.
4?54?5???π?3?π?4
－7 [由sin?x＋?＝，sin?x－?＝得
4?54?5??
3242
sin x＋cos x＝，sin x－cos x＝，
55
722sin x从而sin x＝，cos x＝－，所以tan x＝＝－7.]
1010cos x3．若θ∈?
?π，π?，sin 2θ＝37，则sin θ＝________.
?8?42?
3?ππ? [∵θ∈?，?，
4?42?
?π?∴2θ∈?，π?，故cos 2θ≤0，
?2?
∴cos 2θ＝－1－sin2θ＝－又cos 2θ＝1－2sinθ，
2
2
1－?
1?37?2
?＝－8. ?8?
?1?1－?－?
1－cos 2θ?8?92
∴sinθ＝＝＝，
2216
3
∴sin θ＝.]
4
π
4．在△ABC中，BC＝3，AC＝2，A＝，则B＝________.
3
πBCAC322 [由正弦定理可得，＝，即＝，解得sin B＝，因为B＋4sin Asin Bπsin B2
sin
3
1
C＝π－A＝
2π2ππ，所以0 ?π?1?π?5．若sin?－α?＝，则cos?＋2α?＝________. ?3?4?3? 7?π???π??－ [cos?＋2α?＝－cos?π－?＋2α?? 8?3???3?? ??π?????2?π ＝－cos?2?－α??＝－?1－2sin?－α?? ??3????3?? 1?7?＝－?1－2×?＝－.] 16?8? 1cos 2α?π?6．已知sin α＝＋cos α，且α∈?0，?，则的值为________． 2?2π???sin?α－?4??－ 141132 [sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，两边平方得，sin 2α＝>，22242 ?π?而α∈?0，?， 2?? 所以cos 2α＝－1－sin2α＝－ 2 7?3?2 1－??＝－， 4?4? －74 cos 2αcos 2α14所以＝＝＝－.] π?2221?sin?α－?×4?2sin α－cos α?22 π22 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝(a－b)＋6，C＝，则 3△ABC的面积等于________． 3322222 [∵c＝(a－b)＋6，∴c＝a＋b－2ab＋6.① 2 π222 ∵C＝，由余弦定理得c＝a＋b－ab，② 3 11333 由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.] 22228．(2016·无锡期末)已知sin(α－45°)＝－为________． 7 [∵0°＜α＜90°， 25 ∴－45°＜α－45°＜45°. 2 且0°＜α＜90°，则cos 2α的值10 2 ∴cos(α－45°)＝1－sin 2 α－45°＝ 72 ， 10 7 ∴cos 2α＝sin(90°－2α)＝2sin(45°－α)cos(45°－α)＝.] 25 9．(2016·苏州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tan A＝2tan B，a2－b2＝c，则c＝________. sin A2sin B1 [∵tan A＝2tan B，∴＝， cos Acos B∴sin Acos B＝2cos Asin B， 13 a2＋c2－b2b2＋c2－a2 ∴a·＝2b·， 2ac2bc整理得3a－3b＝c. 122 又a－b＝c， 3 故c＝c，解得c＝1或0(舍去)．] 10．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是________三角形． 直角 [因为sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cos Asin B，又sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，所以sin Acos B＋cos Asin B＝1，即sin(Aπ ＋B)＝1，所以A＋B＝，故三角形为直角三角形．] 2 113π 11．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________. 7142πππ113 [因为0<β<α<，所以0<α－β<，又因为cos α＝，cos(α－β)＝，所3227144333以sin α＝，sin(α－β)＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α71443131333π －β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，所以β＝.] 71471423 12．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足的范围是________． 2 2 2 2 ba＋ca＋b＋c≥1，则角A?0，π? [由b＋c≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－ ?3?a＋ca＋b?? b2＋c2－a211πa≥bc，即≥，即cos A≥(0 2bc223 2 3 13．(2016·济南模拟)在锐角三角形ABC中，若C＝2B，则的范围是________． 【导学号：19592031】 ABACABcsin C(2，3) [设△ABC三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则有＝＝ ACbsin Bsin 2B＝＝2cos B. sin Bππ 又∵C＝2B<，∴B<. 24π 又A＝π－(B＋C)＝π－3B<， 2πππ∴B>，即 664∴ 23 14．(2016·保定模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝2－3→→122，BC·BA＝，则tan B＝________. a－b＋c2 2 11→→→→ 2－3 [由题意得，BC·BA＝|BC|·|BA|cos B＝accos B＝，即cos B＝， 22aca2＋c2－b21222 由余弦定理，得cos B＝＝?a＋c－b＝1， 2ac2ac所以tan B＝2－3 ＝2－3.] a－b2＋c2 2 15．(2016·盐城三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为1122 锐角三角形，且满足b－a＝ac，则－的取值范围是________． tan Atan B?23?2222?1，? [∵b－a＝ac，∴b＝a＋ac. 3?? 又b＝a＋c－2accos B， ∴a＋ac＝a＋c－2accos B， ∴c＝2acos B＋a， ∴sin C＝2sin Acos B＋sin A， ∴sin(A＋B)＝2sin Acos B＋sin A， ∴sin(B－A)＝sin A， ∵△ABC为锐角三角形， ∴B－A＝A，即B＝2A. 2 2 2 2 2 2 4 ??π由?0＜B＜， 2π?0＜C＜?2， ∴＝＝ sinB－A sin Asin Bπ0＜A＜， 2 ππππ可得＜A＜，＜B＜. 6432 11cos Acos B－＝－ tan Atan Bsin Asin Bsin A1?23? ＝∈?1，?.] sin Asin Bsin B?3? 16．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________． 8 [在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. tan B＋tan C2tan Btan C∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.① tan Btan C－1tan Btan C－1∵A，B，C均为锐角， ∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1， tan A由①得tan Btan C＝. tan A－2 tan A又由tan Btan C>1得>1，∴tan A>2. tan A－2tanA∴tan Atan Btan C＝ tan A－2＝ tan A－2 ＋4tan A－2＋4 tan A－2 44 ＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A－2＝，即tan Atan A－2tan A－2 2 2 ＝(tan A－2)＋＝4时取得等号． 故tan Atan Btan C的最小值为8.] 5
（江苏专版）2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题2三角函数、解三角形、平面向量第9讲三角恒等变
