华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答 2006.11 系别___________班级__________学号__________姓名___________ 题号 得分 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 评卷人 一、填空题（每小题3分，共24分） 1．的值为，主值为 .
2．；且所表示的平面点集是区域吗？ 是 ，单连域还是
多连域？ 单连域 。
3．4．在映射
0 。
下，集合
的像集为：
.
5．为的 1 阶极点。 6．7．在 处展开成Taylor级数的收敛半径为 . 。 的频谱密度函数8．已知。 得分 ，其中，则评卷人 二、（6分）设a、b是实数，函数复平面解析，则分别求a、b之值，并求. 在1 / 8
解：是复平面上的解析函数，则在平面上
满足C—R方程，即：
故 得分
对 成立， 评卷人 三、（8分）验证数，并求以是z平面上的调和函为实部的解析函数，使 故
是调和函数。
. 解：（1）
（2）利用C—R条件，先求出
的两个偏导数。
则
由 故 得分
评卷人
四、（6×4=24分）计算下列各题：
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1．
解：令 原式
，设C为正向圆周。
，则由高阶求导公式得：
2．，C为正向圆周。
解: 在C内，有本性奇点，由留数定理：原式
在 内将 展为Laurent级数：
故：
3．
解：由于是偶函数，故
原式
则定积分可化为复积分
令
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令
则 在 内有2个简单极点与
由留数定理知：
故原式
4．
解：令 容易验证
在上半平面有两个简单极点
满足若尔当引理
原式得分
评卷人
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级数。 在复平面有孤立奇异点
时，
与
，
解：
（1）
（2）
时
（3）
时
（4）
时
得分
评卷人
六、（6分）试求z平面的下半平面在分式线性映射
下的象区域.
解：在实轴上依次取，
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