最新人教版高中数学必修五 等差数列的前n项和(一)优质教案

2.3 等差数列的前n项和

2.3.1 等差数列的前n项和(一

从容说课

“等差数列的前n项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进而引导学生对等差数列的前n项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步形成对等差数列的前n项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要采用设计变式题的教学手段

通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及如何去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节内容的认知结构的形成教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用

教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等

三维目标

一、知识与技能

掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

二、过程与方法

通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平

三、情感态度与价值观

通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感

教学过程

导入新课

教师出示投影胶片1：

印度泰姬陵

aj Maha

是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上

的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)

生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数

师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事教师出示投影胶片2：

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出

道题目：

过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？

生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以

师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了

高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果

作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西

师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？ 生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题推进新课 ［合作探究］

师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到

右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢

生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了

师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢

生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是

(1?21)?212

师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是： 1+2+3+…+21， 21+20+19+…+1，

对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序

这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法现在我将求和问题一般化：

(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn

生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an， Sn=an+an-1+…+a2+a1，

再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq， 所以Sn?n(a1?an).(Ⅰ2

生2 对于问题(2)，我是这样来求的：

因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］， 所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+即Sn=na1+

n(n?1)d2

n(n?1) d.(Ⅱ2

［教师精讲］

两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆［方法引导］

师 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行引导学生总结：这些公式中出现了几个量？ 生 每个公式中都是5个量

师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法

生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二

师 当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差［知识应用］

【例1】 (直接代公式)计算： (1)1+2+3+…+n； (2)1+3+5+…+(2n-1)； (3)2+4+6+…+2n； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n

(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答生 (1)1+2+3+…+n==n(n

n(n?1)n(1?n?1)n(2n?2)；(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n2；(3)2+4+6+…+2n= 222