本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.
三、解答题
21．（1）m?1111；（2）当m?或m??时，有1个零点；当m?或m?0或
4444111m??时，有2个零点；当0?m?或??m?0时，有 3个零点
444【解析】 【分析】
（1）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，
（2）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可． 【详解】
解：（1）由f?log2x??0得，log2x?当x?(1,??)时，log2x?0
变形为?log2x??log2x?m?0，即m???log2x??log2x
22m?1?0 log2x1?1?而??log2x??log2x???log2x??? 2?4?22当log2x?所以m?12即x?2时，??log2x??log2x2??max?1 41 4（2）由f?x??0可得xx?x?m?0(x?0)，变为m??xx?x(x?0)
2??1?1???x???,x?0??x2?x,x?0??2?4??令g?x??x?xx??2 2x?x,x?01?1???x???,x?0??2?4??作y?g?x?的图像及直线y?m，由图像可得:
11或m??时，f?x?有1个零点.
4411当m?或m?0或m??时，f?x?有2个零点:
44当m?当0?m?11或??m?0时，f?x?有 3个零点.
44
【点睛】
本题考查不等式恒成立以及函数的单调性的应用，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题． 22．(1)见解析；(2)a?【解析】 【分析】 【详解】
(1)Qf(x)的定义域为R, 任取x1?x2,
11；(3) . 262x1?2x211=. ?a?x2则f(x1)?f(x2)?a?xx1x212?12?1(1?2)(1?2)Qx1?x2,∴21?2xx20,(1?2x1)(1?2x2)0.
∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2). 所以不论a为何实数f(x)总为增函数. (2)Qf(x)在x?R上为奇函数, ∴f(0)?0,即a?解得a?1?0. 20?11. 211?x, 22?1(3)由(2)知，f(x)?由(1) 知，f(x)为增函数,
∴f(x)在区间[1,5)上的最小值为f(1). ∵f(1)?111??， 236 ∴f(x)在区间[1,5)上的最小值为23．（1）【解析】
1. 63.（2）44. 2【分析】 【详解】
试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算. 试题解析：
1(1).log224?lg?log327?lg2?log23231?(log224?log23)?(lg?lg2)?log332
2333?log28?lg1??3??222?1?(2).(3?2)????9?363－ 2?(-8)?(3?2)?(3)?2013126?32?1?9?8?27?1?44
考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算. 24．(1)f(x)?(x?1);(2)存在,?1. 【解析】 【分析】
（1）由f(?3)?f(1),知此二次函数图象的对称轴为x??1, 由f(?1)?0可设出抛物线
2的解析式为f(x)?a(x?1)，再利用f(1)?4求得a的值；
2（2）利用零点存在定理，证明h(0)?h(1)?0即可得到n的值. 【详解】
(1)由f(?3)?f(1),知此二次函数图象的对称轴为x??1, 又因为f(?1)?0,所以(?1,0)是f(x)的顶点, 所以设f(x)?a(x?1)，
2因为f(1)?4,即a(1?1)?4，
2所以设a?1 所以f(x)?(x?1)
(2)由(1)知h(x)?(x?1)?ln(|x|?1)
因为h(?1)?(?1?1)?ln(|?1|?1)??ln(2)?0
222h(0)?(0?1)2?ln(|0|?1)?1?0
即h(0)?h(1)?0
因为函数h(x)?f(x)?ln(|x|?1)在R上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数h(x)在(?1,0)上存在零点. 所以存在n??1使得函数h(x)在区间(n,n?1)内存在零点. 【点睛】
本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力
和运算求解能力.
??x2?2x,x?025．（1）f?x???2（2）?1,3?
x?2x,x?0?【解析】 【分析】
（1）当x?0时，设出二次函数顶点式，结合f(2)?0求得二次函数解析式.根据奇函数
的性质，求得当x?0时，f?x?的解析式，从而求得f?x?在R上的解析式.
（2）由（1）画出f?x?的图像，结合f(x)在区间[?1,a?2]上单调递增列不等式，解不等式求得a的取值范围. 【详解】
（1）∵f?x?是定义在R上的奇函数， ∴f??x???f?x?且f?0??0
2当x?0时由已知可设f(x)?a(x?1)?1(a?0)，又f(2)?0解得a??1
所以x?0，f(x)??x?2x
当x?0时，?x?0，∴f?x???f??x???????x??2x??x?2x
222??2??x?2x,x?02 又f?0?满足f?x??x?2x∴f?x???2x?2x,x?0?（2）由（1）可得图象如下图所示：
由图可知f?x?的增区间为[?1,1]
∵在f?x?区间[?1,a?2]上单调递增，∴?1?a?2?1 解得：a??1,3?∴a的取值范围为：?1,3? 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数解析式的求法，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
100?时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见26．(1) x??45，解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】
（1）由题意知，当30?x?100时，
f?x??2x?1800?90?40， x即x2?65x?900?0， 解得x?20或x?45，
100?时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ∴x??45，（2）当0?x?30时，
g?x??30?x%?40?1?x%??40?当30?x?100时，
x； 10180x213??g?x???2x??90??x%?40?1?x%???x?58；
x5010??x?40???10∴g?x???2；
?x?13x?58??5010当0?x?32.5时，g?x?单调递减； 当32.5?x?100时，g?x?单调递增；
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少． 【点睛】
本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
高中必修一数学上期末第一次模拟试题及答案
