二次曲面的标准型

第8章

§8.5 二次曲面的标准型

§8.5.1 §8.5.2 §8.5.3 坐标平移坐标旋转

二次曲面的标准型

二次曲面的举例

三元二次方程

Ax?By?Cz?2Dxy?2Eyz?2Fzx?Gx?Hy?Iz?J?0(二次项系数不全为0 )

的图形通常为二次曲面.

其基本类型有:

222椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法

下面仅

1. 椭球面

(1)范围：

xyz???1(a,b,c为正数)222abc222x?a,22y?b,z?c?y2z2???1,?b2c2??x?0?x2z2???1?a2c2??y?0 (2)与坐标面的交线：椭圆

?xy???1,?a2b2??z?0xyz为正数)???1(a,b,c222abc(3) 截痕:与

222z?z1(z1?c)的交线为椭圆：

22xa2c22(c?z1)?yb2c2222z(c?z1)?1z?z1同样

y?y1(y1?b)及

的截痕

也为椭圆.

(4) 当a＝b时为旋转椭球面;

当a＝b＝c时为球面.

2. 抛物面

(1) 椭圆抛物面

zxy??z( p , q同号)2p2q特别,当p = q 时为绕z 轴的旋转抛物面.(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）

22xzyxy???z( p , q 同号)2p2q22xy