二次根式的化简与计算
【知识要点】
1．一般地，式子
a a
0 叫做二次根式，这里的 a 可以是数，也可以是代数式，它们都
必须是非负数（即不小于 0）， a 的结果也是非负数．
2．二次根式的性质
2
（ 1） a
a
a 0
a a 0 （ 2） a2
a
0 a 0
a
a 0
（ 3） a b a
b
a
0,b
0
（ 4）
a a 0, b
0
b
ba
3．运算法则：
（ 1）乘法运算： a b ab a 0, b 0
（ 2）除法运算：a a
0
ba
0,b
b
4．最简的二次根式：
（ 1）被开方数因数是整数，因式是整式．
（ 2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．
5．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化 .
方法 : ①单项 二次根式：利用
a
a
a 来确定．
②两项 二次根式：利用平方差公式
a b a b a 2 b2 来确定．
如 : a
b 与 a
b ， a
b与 a
b ，
a x b y与a x b y 分别互为有理化因式。
【经典例题】
例 1．判断下列各式，是否是二次根式：
3 8, 3 27,
4, 4 a 2 , 4, a 2 2a 1, 2a 1 a
1 , a 2 2
2
1
例 2．计算下列各题：
2
3
2
2
（1） 7
（2）
2
4
（3） 3 2
（4）
5 5
（ ） 2
( 4) 5
（ 6） 2
2
例 4．把下列各式分母有理化
例 5．化简例 6．计算（1）
1
（2）12
（1） 9 169 12
（3） 262 102
（ 1） 5 33
2
3
（ 3） 312 4
1
6
3 3 2
3）
1
1
（ 4）
1 3 2 12
5 50
（2） 7 63
（4） 12 25
（2）
15
6 2
5
（4） 5
8 1
1
3 54
27
3
2
（
【课堂练习】
1.填空题
1
(1)
7
化为最简二次根式为 ________
(2)在 36
2
、3
4 、9 3 中最简二次根式为 ________
(3)化下列各式为最简二次根式 160 =____
18x 2 y
=____(x＞0) (4)当 x＜ 2 时，化简 x 2 - 4x
4 4x=________
(5)当 x＞ 0 时， y
化为最简根式为 ________
2.选择题
1、下列各式化为最简根式正确为 (
)
A.
32 =
3 × 2 =
6
B. 125a3b4
=-5ab2 5a
1
3
C. 3 、下列各式中最简二次根式为= 3 D.- (-1) -2 (=+1 2 )
x
A.
8a
B. 5
C. a3
b2
D. a 4
a 2 b
3、下列各二次根式是最简二次根式的是 (
)
1
A. 、二次根式：4a
B. x 2 - 1 C. 3 a
D. x 2 y
5x5
14
x2
11a
12a
a4
中最简二次根式的个数是4
, , ,2
,
,
A.5
B.4
C.3
D.2
5.(07 黄冈 ) 计算： (
5
2)( 5
2) =
.
6.(07 十堰 ) 计算： ( 2 1)2 ＝_________________.
7.(07 宜昌 ) 化简 54 1
2的结果是 + 12
.
8. 不等式
2 x
2 6 的解是.
9.(07 临汾 ) 计算 12( 1
）
75 3
48) 的结果是（
3
A. 6
B.
4 3
C.
2 3 6
D.12
10. 计算
2 1
2 1 2
的结果是（
）
A. 2 ＋ 1 B. 3 2 1
C.1
D.-1
11. (08
烟台 ) 已知 a
5 2, b
5
2，则 a2
b2 7 的值为（
）
A. 3
B. 4
C. 5 D.6
12. 下列运算中，错误的有 （
） ① 1 25，
1 5 ，
② ( 4) 2
4
144
12
3
()
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