2018-2019数学北师大版选修1-1 第四章2.2 最大值、最小值问题(一) 作业1

[基础达标]

1.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值

解析：选D.∵－1

15

2.已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在[a，2]上的最大值为，则a等于( )

4

31A．－ B. 22113C．－ D.或－

222解析：选C.f′(x)＝－2x－2，令f′(x)＝0得x＝－1. 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意． 当－1

15

最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，

4

13

解得a＝－或a＝－(舍去)．

22x

3.函数f(x)＝x在x∈[2，4]上最小值为( )

e

1

A．0 B. e

42C.4 D.2 ee

1－x

解析：选C.f′(x)＝x2＝x，当x∈[2，4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在x∈[2，4]上是

e（e）4

单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值4.

e

π

0，?上取得最大值时，x＝( ) 4.当函数f(x)＝x＋2cos x在区间??2?

π

A．0 B. 6

ππC. D. 32

1πππ

解析：选B.f′(x)＝1＋2(－sin x)，令f′(x)＝0，解得sin x＝.∵0≤x≤，∴x＝.当0≤x＜时，

2266

πππ

f′(x)＞0，函数是增加的；当＜x≤时，f′(x)＜0，函数是减少的，∴当x＝时，函数取得极

626大值，也是最大值．

5.已知函数f(x)的图像过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得极大值－5

时，x的值应为( )

A．－1 B．0 C．1 D．±1

ex－xex

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解析：选B.∵f′(x)＝4x3－4x，∴f(x)＝x4－2x2＋c. ∵f(x)过点(0，－5)，∴f(x)＝x4－2x2－5.

又f′(x)＝0得x＝0或x＝±1，所以－1＜x＜0或x＞1时，f′(x)＞0；x<－1或0＜x＜1时，f′(x)＜0.

∴x＝0时取得极大值－5.

ln x

6.函数y＝的最大值为________．

x解析：函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝

（ln x）′x－ln x·x′1－ln x

＝，令y′＝0，得x＝e，

x2x2

当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以x＝e是函数的极大值点，也是最大值点，故

ln e1ymax＝＝. ee

1答案： e

7.函数f(x)＝2x3－6x2＋a(a为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．

解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 由f′(x)＝0得x＝0或2.

∵f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.∴a＝5. 此函数在[－2，2]上的最小值是5－40＝－35.

答案：－35

8.已知函数f(x)＝(x2－2x)ex，下列说法中正确的有________． ①f(x)在R上有两个极值点； ②f(x)在x＝2处取得最大值； ③f(x)在x＝2处取得最小值； ④f(x)在x＝2处取得极小值；

⑤函数f(x)在R上有三个不同的零点．

解析：f′(x)＝ex(x2－2)，令f′(x)＝0，得x＝±2.当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.故函数在x＝2处取得极小值，在x＝－2处取得极大值，又f(－2)＝(2＋22)e－答案：①④⑤

1

9.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)，求f(x)的最小值．

ax1ax－111

解：f′(x)＝a－2＝，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.

axax2aa

11

当x>时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)上单调递增；

aa11

当0

aa1

所以当x＝时，f(x)取得最小值为2＋b.

a

10.已知f(x)＝x2－aln x，求f(x)在[1，＋∞)上的最小值．

22

2>0，f(2)＝(2－22)·e－2<0，所以函数

f(x)在R上有三个不同的零点．

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2

a2x－a

解：f′(x)＝2x－＝(x∈[1，＋∞))．

xx

①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝1； ②当a>0时，令f′(x)＝0得 x1＝－若若a(舍去)，x2＝2a. 2a≤1即01即a>2，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： 2aaa(1，) (，＋∞) x 222f′(x) － 0 ＋ ↗ 极小值 ↘ f(x) a故在x＝时，f(x)取极小值也是最小值， 2a?aaa所以f(x)min＝f?＝－ln . ?2?222综上所述：当a≤2时，f(x)min＝f(1)＝1；

a?aaa

当a>2时，f(x)min＝f?＝－ln . ?2?222

[能力提升]

1.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )

1

A．1 B. 2

52C. D. 22

2

12x－1

解析：选D.|MN|的最小值，即函数的最小值，h′(x)＝2x－＝，显

xx

22然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.

22

x3

2.若函数f(x)＝2(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．

3x＋a

h(x)＝x2－ln x

解析：f′(x)＝

＝. （x2＋a）2（x2＋a）2

x2＋a－2x2

a－x2

令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)． 当x>a时，f′(x)<0；当00；

a33

＝，a＝<1，不合题意． 2a3213

当0

1＋a3当a≥1时，f(x)＝f(a)max＝答案：3－1

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ππ－33

3.已知函数f(x)＝axsin x－(a∈R)，且在[0，]上的最大值为，求函数f(x)的解析

222

式．

π

解：由已知得f′(x)＝a(sin x＋xcos x)，对任意x∈(0，)，有sin x＋xcos x>0，

2

3

当a＝0时，f(x)＝－，不合题意．

2ππ

当a<0，x∈(0，)时，f′(x)<0，从而f(x)在(0，)内单调递减．

22

ππ3

又f(x)在[0，]上的图像是连续不断的，故f(x)在[0，]上的最大值为f(0)＝－，不合

222题意；

πππ

当a>0，x∈(0，)时，f′(x)>0，从而f(x)在(0，)内单调递增，又f(x)在[0，]上的图像

222πππ3π－3

是连续不断的，故f(x)在[0，]上的最大值为f()，即a－＝，解得a＝1.

222223

综上所述，f(x)＝xsin x－. 2aln x

4．设a>0，函数f(x)＝.

x

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)在区间[a，2a]上的最小值．

1－ln x1－ln x

解：(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝a·2，由于a>0，令f′(x)＝a·2>0，

xx1－ln x

得0e.

x

故函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．

e

(2)①当0<2a≤e，即0

2＝f(a)＝ln a；

1

②当a≥e时，由(1)知，函数f(x)在[a，2a]上单调递减，所以f(x)min＝f(2a)＝ln 2a；

2

e

③当

2

11

由于f(a)－f(2a)＝ln a－ln 2a＝(ln a－ln 2)，

22

e

所以若

2

1

若2f(2a)，此时f(x)min＝f(2a)＝ln 2a.

2

1

综上所述，当02时，f(x)min＝ln 2a.

2

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