《函数的单调性、奇偶性》复习教案
一、函数的单调性
一、函数的增减性即函数的单调性直观的说：
在某区间上，增函数? 图象上升
减函数?图象下降
二、函数的增减性即函数的单调性准确的说：
设函数y=f(x)的定义域为A,区间D?A.区间D上的任意两个自变量的值x1,x2， （1）x1 x1?x2（2）x1 x1?x2 单调性：注意，只要一说起单调函数，一定存在单调区间，并且判断单调性不能跨区间进行讨论。 三． 证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法： 定义法 ； 图像法； 性质 1.函数f(x)在定义域上是单调函数，且f(x)＞0，那么在同一定义域上，y??f(x)、y?1f(x)与y?f(x)单调性相反；y?f(x)?a、y?f(x)与y?f(x)单调性相同 2.对于两个函数而言： 增函数+增函数=增函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 减函数+减函数=减函数 四、证明函数f(x)在区间M上具有单调性的方法：利用定义 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 1 任取x1，x2∈D，且x1 2 作差f(x1)－f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○ 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○ 五、单调性应用 类型一 函数的最值问题 若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上是单调函数，则函数y=f（x）在[a，b]上一定有最大、小值。 ①若y=f（x）在[a，b]上是单调递增函数，则y=f（x）的最大值是f（b），最小值是f（a）； ②若y=f（x）在[a，b]上是单调递减函数，则y=f（x）的最大值是f（a），最值是f（b） ③函数y=f(x)在区间[a，b]上递增，在区间[b，c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； ④如果函数y=f(x)在区间[a，b]上递减，在区间[b，c]上递增,则函数y=f(x)在x=b处有最 小值f(b)； 例1：求下列函数的值域 (1) y=2x-3 , x? [-3,5] (2) y=5-6x, x? [-1,2] (1) (3)y?2x?1?4x?1 (3)y?1?x?1?2x x?1f(x)?例：已知：函数 x?2判断f(x)在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求f(x)在[3，5]上的最值。 （1）解 f(x)在[3，5]上是减函数 证明：任取两个值x1、x2∈[3，5]，且x1＜x2． f(x1)?f(x2)?x1?1x2?1(x1?1)(x2?2)?(x2?1)(x1?2)3(x2?x1) ???x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)∵x1、x2∈[3，5]，且x1＜x2．∴ x2-x1>0,(x1?2)(x2?2)>0 ∴f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2)∴f(x)在[3，5]上是减函数（2）∵f(x)在[3，5]上是减函数∴类型二 已知单调性求参数值或取值范围 例：函数f(x)?x2?2(m?1)x?2,当x??4,??时是增函数，x????,4?时是减函数，求m值。 分析：由题意知对称轴x??2f(x)max?f(3)?4f(x)min?f(5)?2 2(m?1)?1?m?4 所以 m??3 24：（1）函数f(x)?x?2(m?1)x?2在区间(??,4) 上是减函数，求实数m的取值范围。 (2)已知f(x)?x?2(m?1)x?2在区间?4,???是增函数，求m的取值范围。 2类型三 利用函数的单调性解不等式 (1) 由函数的单调性的定义知： 已知数y=f（x）在定义域的某个区间为增函数，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）， 反之，若f（x1）＜f（x2）时，则x1＜x2。 (2) 当y= f（x）在定义域某个区间上为减函数时，若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2）， 反之，若f（x1）＞f（x2）则有x1＜x2。 3例:函数f(x)在(0, +?)上是减函数,比较f(a－a+1)与f( 42 )的大小. 1?33?2 解: a－a+1=?a??+?>0 又因为f(x)在(0, +?)上为减函数. 2?44?2所以f(a－a+1)?f( 2 3) 4 注意:本题的关键是利用函数在(0, +?)上单调性. 例3.已知f(x)在它的定义域[－17，+?）上是增函数,且f(3)=0,试解不等式f(7x－5)<0。 解:因为f(3)=0, 所以原不等式等价于f(7x－5) 128?7x?5??17?7x??12???x? 所以 即 ?即?77?7x?8?7x?5?3 注意:解此题的关键是脱去函数符号,脱去函数符号的主要依据是函数的单调性，同时，要 特别注意函数的定义域，否则可能产生增根. 例1：（定义在R上的函数f(x)对任意两个实数a,b,总有A．函数C．函数 f(a)?f(b) ?0成立，则必有（ ） a?bf(x)是奇函数 B．函数f(x)是偶函数 f(x)是增函数 D．函数f(x)是减函数 ?(3a?1)x?4a,x?1(??,??)是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） xa,x?1? 二、函数的奇偶性 2.已知f(x)??一．定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ① f(-x)=f(x)〔或f(-x)-f(x)=0? f(x)为偶函数?图象关于y轴对称 ② f(-x)=－f(x)或f(-x)＋f(x)=0?f(x)为奇函数?图象关于原点对称 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性 注：（1）函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的， 要与单调性区别开来. 2）奇、偶函数的定义域关于原点对称 3）函数f(x)是奇函数，并在x=0处有定义，则f(0)=0 4）函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(x) 二．题型一：判断函数奇偶性的方法： ①定义法（定义域必须是关于原点成中心对称，否则这个函数一定是非奇非偶函数。） 用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)、首先确定函数的定义域,并且判断其定义域是否关于原点对称 (2)、确定f(-x)与f(x)的关系 (3)、作出相应结论 若有f(-x)= f(x), 则f(x)是偶函数 若有f(-x)= -f(x), 则f(x)是奇函数 ②图象法 ③性质 偶函数±偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数； 奇函数乘（或除）奇函数=偶函数；奇函数±偶函数=非奇非偶函数， 例：已知函数 y=f(x)的图象如图所示，判断此函数的奇偶性. 三．奇偶性的应用
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