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2006年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 已知△ABC，若对任意t?R，BA?tBC?AC，则△ABC一定为
A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）
22. 设logx(2x?x?1)?logx2 ?1，则x的取值范围为
A．
11（ ） ?x?1 B．x?,且 x?1 C． x?1 D． 0?x?1 【答】
223. 已知集合A?x5x?a?0，B?x6x?b?0,a,b?N，且A?B?N??2,3,4?，则整数对?a,b?的个数为
A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC??????2，AB?AC?AA1?1. 已知Ｇ与Ｅ分别为A1B1 和
CC1的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若GD?EF，则线段DF的长度的取值范围为 A. ??1??1??1?1, 2 D. ? 【答】 （ ） , 1? B.?, 2? C. ?, 2???5??5??5??5. 设f(x)?x3?log2x?x2?1，则对任意实数a,b，a?b?0是f(a)?f(b)?0的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码a1,a2,a3, A．(10??,a2006中有奇数个9的2007位十进制数2a1a2a3a2006的个数为
1220061?82006) B．(102006?82006) C．102006?82006 D．102006?82006 【答】（ ）
24二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 设f(x)?sinx?sinxcosx?cosx，则f(x)的值域是 。
8. 若对一切??R，复数z?(a?cos?)?(2a?sin?)i的模不超过2，则实数a的取值范围为 .
4x2y2??1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x?3y?8?23?0上. 当9. 已知椭圆
164?F1PF2取最大值时，比
PF1PF2的值为 .
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10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为
1cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层2两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3. 11. 方程(x2006?1)(1?x2?x4??x2004)?2006x2005的实数解的个数为 . 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取
完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 给定整数n?2，设 M0(x0,y0)是抛物线y?nx?1与直线y?x的一个交点. 试证明对于任
意正整数m，必存在整数k?2，使(x0,y0)为抛物线y?kx?1与直线y?x的一个交点.
14. 将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和. 记S?mm221?i?j?5?xixj. 问：
（1）当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；
（2）进一步地，对任意1?i,j?5有xi?xj?2，当x1,x2,x3,x4,x5明理由.
1nn?1215. 设 f(x)?x?a. 记f(x)?f(x)，f(x)?f(f(x))，n?2,3,取何值时，S取到最小值. 说
，
1??M?a?R对所有正整数 n， fn(0)?2. 证明：M???2, ?.
4????
一试参考答案
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.【答】 （ C ）【解】令?ABC??，过A作AD?BC于D。由BA?tBC?AC，推出
BA?2tBABC?tBC?AC222222,令
t?BABCBC2，代入上式，得
BA?2BAcos??cos?BA?AC，即 BAsin??AC, 也即 BAsin??AC。
从而有AD?AC。由此可得 ?ACB?2222222?2。
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,?1?x?0x12.【答】（ B ）【解】因为?2，解得 x?,x?1. 由
2?0?2x?x?1?0?x?1logx(2x2?x?1)?logx2 ?1?logx(2x3?x2?x)?logx2 ??3 解得 2?2x?x?x?2x?1?1x 解得 ，所以的取值范围为 x?, 且 x?1. 0?x?1；或 ?3x?122?2x?x?x?23.【答】 （ C ）【解】 5x?a?0?x?ab；6x?b?0?x?。要使A?B?N??2,3,4?，56?b1??2??6?b?12?611则?，即?。所以数对?a,b?共有C6C5?30。
?20?a?25?4?a?5?5?4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ
)0?t1?1）轴，则F(t1,0,0（，E(0,1,)11，G(,0,1)，D(0,t2,0)（0?t2?1）。所以22111EF?(t1,?1,?)，GD?(?,t2,?1)。因为GD?EF，所以t1?2t2?1，由此推出 0?t2?。
222215t22?4t2?1?5(t2?)2?，从而有
551?DF?1。 522又DF?(t1,?t2,0)，DF?t1?t2?5.【答】 （ A ）【解】显然f(x)?x3?log2x?x2?1为奇函数，且单调递增。于是 若a?b?0，则a??b，有f(a)?f(?b)，即f(a)??f(b)，从而有f(a)?f(b)?0. 反之，若f(a)?f(b)?0，则f(a)??f(b)?f(?b),推出 a??b，即 a?b?0。 6. 【答】（ B ）【解】出现奇数个9的十进制数个数有A?C200692006120053?C200692003?2005?C20069。
??又由于(9?1)??Ck?02006k200692006?k以及(9?1)2006k??C2006(?1)k92006?k，从而得 k?0200612005?C20069?(102006?82006)。
2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
112447.【解】 f(x)?sinx?sinxcosx?cosx?1?sin2x?sin2x。令t?sin2x，则
2211911919f(x)?g(t)?1?t?t2??(t?)2。因此ming(t)?g(1)???0,
?1?t?12282282419199maxg(t)?g(?)??0?。 即得0?f(x)?。 ?1?t?12828813A?C200692005?C200692003?精品文档
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8. 【解】依题意，得z?2 ?(a?cos?)?(2a?sin?)?4
22?2a(cos??2sin?)?3?5a2??25asin(???)?3?5a2 （??arcsin21）（对任意实数?5?555?a成立）?25a?3?5a ?a?. 故 的取值范围为 ??, ?。
555??9. 【解】 由平面几何知，要使?F1PF2最大，则过F1,F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A(?8?23,0)，则?APF1??AF2P，即?APF1?AF2P，即
PF1AP2（1），又由圆幂定理，AP?AF1?AF2（2），而F?1(?23,0)，F2(23,0)，
PF2AF2A(?8?23,0)，从而有
AF1?8，AF2?8?43。代入（1），（2）得
PF1PF2?AF1AF2?8?4?23?3?1。
8?4310. 【解】设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4，其中O1,O2为下层两球的球心，A,B,C,D分
别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为
22的正方形。所以注水高为1?。故应注221224?1?)?。 水?(1?)?4????＝(?3223?2?11.【解】(x20063?1)(1?x2?x4???x2004)?2006x2005
?(x?1x2005)(1?x2?x4??x2005??x2004)?2006 1x2005?1x2003?x1?20011?1?2006 x?x?x3?x5??2006?x?11?x3?3??x2005?2005?21003?2006 xxx13112005?2005，即x??1。 要使等号成立，必须 x?,x?3,,xxxx但是x?0时，不满足原方程。所以x?1是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。
12. 【解】第4次恰好取完所有红球的概率为
222?9?18291?8?21?????????????=0.0434. 10?10?1010101010?10?1010精品文档
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三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）
n?n2?41?n。…（513. 【证明】 因为y?nx?1与y?x的交点为x0?y0?.显然有x0?2x02分）
若(x0,y0)为抛物线y?kx?1与直线y?x的一个交点，则k?x0?mm2m1. …（10分） mx0记km?x0?m11k?k(x?)?km?1?nkm?km?，，则 m?1m01 (m?2) （13.1） mx0x02由于k1?n是整数，k2?x0?112?(x?)?2?n2?2也是整数，所以根据数学归纳法，通过02x0x0m（13.1）式可证明对于一切正整数m，km?x0?1是正整数. 现在对于任意正整数m，取x0mk?x0m?1mm2y?kx?1，使得与的交点为y?x(x,y00). ………………… （20分） mx014. 【解】 （1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若
x1?x2?x3?x4?x5?2006, 且使 S?1?i?j?5?xixj取到最大值，则必有
………（5分） (*) xi?xj?1, (1?i,j?5 )??x1?1，x2??x2?1,xi??xi(i?3,4,5) 事实上，假设（*）不成立，不妨假设x1?x2?2。则令x1??x2??x1?x2，x1??x2??x1x2?x1?x2?1?x1x2。将S改写成 有x1S?1?i?j?5?xixj?x1x2??x1?x2??x3?x4?x5??x3x4?x3x5?x4x5
?x2??x1x2?0。这?x2??(x1??x2?)?x3?x4?x5??x3x4?x3x5?x4x5。于是有S??S?x1同时有 S??x1与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾。所以必有xi?xj?1, (1?i,j?5). 因此当
x1?402,x2?x3?x4?x5?401取到最大值。 ……………………（10分）
（2）当x1?x2?x3?x4?x5?2006且xi?xj?2时，只有
（I）
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402， 402， 402， 400， 400；
最新全国高中数学联赛一、二试试题及答案[1]
