1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

第一章 计数原理

1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

第一课时

一、教学内容解析： １.教学内容：

分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。 2.概念解析：

分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫加法原理和乘法原理。其区别在于：使用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都能够独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；使用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。

3.两个计数原理的地位和作用：

分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。这不但是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。 二、教学目标设置：

1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使学生的建构思维水平得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。

3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出准确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，理解数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。让学生感受到亲切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和水平。 三、学生学情分析： 1.认知基础分析：

学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比水平，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”。

2.可能学习障碍分析：

准确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件：分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的。加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。更具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去数。学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。所以，把本节课的教学难点定为：（1）如何判断完成一件事是分类或分步完成；（2）理解分步计数原理中的运算方法，即总方法数为各步骤方法数之积。

3.突破难点分析：

要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得样去完成。在分析的过程中，便会发现有些事能够按某些

m1明确这是一件什么事，该怎方法独立完成，有些事需要

多个步骤才能完成。能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。

对于分步计数原理的运算结果，可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突破。 四、教学策略分析：

本节课的课本引例、例题同学们通过预习大多都能看懂。为了贴近学生实际生活，激发学生学习兴趣，在创设情境和例题的选用上，选择了学生所熟悉的校园生活事例。

本节课采用了老师引导启发，学生分小组合作学习的方法实行教学。利用多媒体显示问题情境，让学生通过小组活动，具体地分析比较，进而归纳总结，体现了从特殊到一般的思维过程，既注重了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提升思维水平，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

学生在小组合作交流中，对问题的理解能够得到互补完善。从学生回答问题和学生间的相互评价中，使老师更多地了解学生的理解水准.

五、教学过程： 1.创设情境，揭示课题

师：同学们，这个时节春暖花开，鸟语花香。特别适合春游，我想起一句诗，我说出上句，同学们说出下句。“故人西辞黄鹤楼” 生：“烟花三月下扬州”

师：很好，古人旅游可没今天方便，我们今天有汽车，还有火车。假如清明节放假，你准备到扬州旅游，从利辛到扬州每天有三个班次的汽车，有两个班次的火车。那么，乘坐以上交通工具从利辛到扬州，在一天中一共有多少种选择呢？这就是我们今天要研究的课题《计数原理》。

（用多媒体展示，把此问题作为引例1，在黑板上书写课题）

设计意图：选择学生身边有生活气息的素材作为新课引入的实例，利用简单的熟悉的问题情境激发学生学习的积极性，让学生在迫切要求下去探究。

2.逐层探索，构建新知

师：在刚才的问题中，我们要完成什么事？要怎样去完成？

生：我们要从利辛到扬州，我们能够采用两类交通工具，我们能够乘坐汽车，也能够乘坐火车。无论采用哪一类均能到达。

师：我们能算出一共有多少种选择吗？ 生1：有五种，我是一一列举出的。

师：回答很好，能不能利用题目中的数据计算呢？ 生：3+2，把题中数据加起来。

师：好，我们接下来再看个引例2。

设计意图：让学生感知完成一件事，能够分类去解决，同时探求分类加法计数规律。 引例2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，能够编出多少种不同的号码？（多媒体展示）

设计意图：强化学生的认知，完成什么事？怎样去完成？如何利用数据规律? 一般归纳：

分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有在第2类方案中有 种不同的方法. 那么完成这件事共有

m种不同的方法，

种不同的方法.

nN?m?n探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中种不同的方法，在第2类方案中有

m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方

法，那么理应如何计数呢？

3.归纳概括，深化概念

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有

mn种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.

理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都能够单独完成这件事. 知识应用：

例1.先有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

引例3：我们学校接到通知需派一名学生到北京参加接待外宾（奥巴马夫人米歇尔），因为

我们11班比较出色，学校领导指定有我们班同学去，利辛到北京没有直达车，需要从阜阳转车，利辛到阜阳有两个班次的汽车，阜阳到北京有两个班次的火车，从利辛到北京一共有多少线路能够选择？

设计意图：让学生意识到数学源于生活，高于生活，拿时事做例子比较接地气，同时能够实行爱国主义教育。

师：在刚才的问题中，我们要完成什么事？要怎样去完成？ 生：从利辛到北京，第一步乘汽车，第二步乘火车。 师：我们能算出一共有多少种选择吗？ 生2：我用树状图共画出了6种。

师：回答很棒，用树状图清晰了然。能不能利用题目中的数据计算呢？ 生：3x2=6。把题中数据乘起来。 师：好，我们接下来看个引例4.

设计意图：让学生感知完成一件事，能够分去步解决，同时探求分步乘法计数规律。 引例4：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A1,A2,…，B1,B2,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 用列举法能够列出所有可能的号码：

N?m1?m2?????mn

我们还能够这样来思考：因为前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个

组成一个号码，而且它们各不相同，所以共有 6×9 = 54 个不同的号码． 设计意图：强化学生的认知，完成什么事？怎样去完成？如何利用数据规律? 一般归纳：