（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（?4，4）， 于是CO＝42. 又BO=22，所以
2CO?2. BO设抛物线y?ax?bx（a?0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（?3，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝45?，所以∠COB=90?.
（第12题） （i）将△BOA绕点O顺时针旋转90?，得到△B?OA1.这时，点B?(?2，2)是CO的中点，点A1的坐标为（4，?1）.
延长OA1到点E1，使得OE1=2OA1，这时点E1（8，?2）是符合条件的点.
（ii）作△BOA关于x轴的对称图形△B?OA2，得到点A2（1，?4）；延长OA2到点E2，使得OE2＝
2OA2，这时点E２（2，?8）是符合条件的点．
所以，点E的坐标是（8，?2），或（2，?8）. …………（20分）
13．求满足2p?p?8?m?2m的所有素数p和正整数m.
解：由题设得p(2p?1)?(m?4)(m?2)，
所以p(m?4)(m?2)，由于p是素数，故p(m?4)，或p(m?2). ……（5分） （1）若p(m?4)，令m?4?kp，k是正整数，于是m?2?kp，
223p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k2p2，
故k?3，从而k?1. 所以?2?m?4?p，?p?5，解得? …………（10分）
m?2?2p?1，m?9.??（2）若p(m?2)，令m?2?kp，k是正整数. 当p?5时，有m?4?kp?6?kp?p?p(k?1)，
3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k(k?1)p2，
故k(k?1)?3，从而k?1，或2.
由于p(2p?1)?(m?4)(m?2)是奇数，所以k?2，从而k?1.
?m?4?2p?1， 于是?
m?2?p，?这不可能.
当p?5时，m?2m?63，m?9；当p?3，m?2m?29，无正整数解；当p?2时，
22m2?2m?18，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，11?33，11?2?33，…，11?60?33（即1991）满足题设条件.（5分）
另一方面，设a1?a2??an是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的
任意4个数ai，aj，ak，am，因为
(j?ak?am，) 33(ai?ak?am)， 33a所以 33a(j?ai. )因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设ai?a1?33di，i=1，2，3，…，n.
由33(a1?a2?a3)，得33(3a1?33d2?33d3)，
所以333a1，11a1，即a1≥11. …………（15分）
dn?故dn≤60. 所以，n≤61.
an?a12010?11?61， ≤
3333综上所述，n的最大值为61. …………（20分）
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
