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【与名师对话】2015-2016学年高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项
式系数的性质课时作业 新人教A版选修2-3
一、选择题
1.关于(a-b)的说法,错误的是( ) A.展开式中的二项式系数之和为1 024 B.展开式中第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小
解析:根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知:二项式系数之和为2,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数,所以是系数中最小的.
答案:C
2.设(1-3x)=a0+a1x+a2x+…+a9x,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为
( )
A.2 C.3
99
9
2
9
10
nB.4 D.5
9
9
解析:判断a0,a2,a4,…,a8为正,a1,a3,a5,…,a9为负,故令x=-1即可.故选B.
答案:B
3.(1-x)的展开式中系数最小的项为( ) A.第六项 C.第八项
B.第七项 D.第九项
13
解析:展开式中共有14项,中间两项(第七、八项)的二项式系数最大.
由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数. 故系数最小的项为第八项,系数最大的项为第七项. 答案:C
4.(2-x)展开式中不含x项的系数的和为( ) A.-1 C.1
B.0 D.2
8
8
4
解析:令x=1,得展开式中各项系数和为(2-1)=1, 由Tr+1=(-1)C82
804
4
rr8-r(x),令r=8,
r得T9=C82x=x,
其系数为1,所以展开式中不含x项的系数的和为1-1=0.
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4
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答案:B
5.已知(a-x)=a0+a1x+a2x+…+a5x,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5=( ) A.32 C.-243
rr5
2
5
B.1 D.1或-243
5-r解析:展开式的通项为Tr+1=(-1)C5·a22
3
·x,
r令r=2,则a2=(-1)C5·a=80,∴a=2.
∴(2-x)=a0+a1x+a2x+…+a5x,令x=1,得a0+a1+…+a5=1. 答案:B
6.已知Cn+2Cn+2Cn+…+2Cn=729,则Cn+Cn+Cn的值等于( ) A.64 C.63
nn0
1
22
5
2
5
nn135
B.32 D.31
6
1
3
5
16
36
56
2
解析:由已知(1+2)=3=729,解得n=6.则Cn+Cn+Cn=C+C+C==32.
2答案:B 二、填空题
7.如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为_____.
1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9
…
解析:由于每行第1个数1,3,5,7,9…成等差数列,由等差数列的知识可知,an=2n-1.
答案:2n-1
8.(1+x)展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是__________. 解析:因为8 所以n=4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T3=C4(x)=6x. 答案:6x 2 2 0 1 nnn?x+1? ?2n展开式的第6项系数最大,则展开式中常数项为________. 9.?3??x?? ?x+1??2n展开式中的二项式系数与项的系数对应相等,又第6项系数最大,解析:?3??x?? 2word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. ?x+1? ?2n展开式有2n+1项,所以得2n+1=11,即n=5, 且?3??x?? 从而通项公式为Tr+1=C10(x)=C10·xrr10-r·(x) r, 故令r=6得常数项为210. 答案:210 三、解答题 10.(2x-3)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x,求 (1)a1+a2+a3+a4. (2)(a0+a2+a4)-(a1+a3). (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|. 解:(1)由(2x-3)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x, 令x=1得(2-3)=a0+a1+a2+a3+a4, 令x=0得(0-3)=a0, 所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=(2-3)-81=-80. (2)在(2x-3)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x中, 令x=1得(2-3)=a0+a1+a2+a3+a4.① 令x=-1得(-2-3)=a0-a1+a2-a3+a4.② 所以(a0+a2+a4)-(a1+a3) =(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4) =(-2-3)(2-3)=(2+3)(2-3)=625. (3)由展开式知a0,a2,a4为正,a1,a3为负,由(2)中①+②得2(a0+a2+a4)=626, 由(2)中①-②得2(a1+a3)=-624,所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4| =-a1+a2-a3+a4 =(a0+a2+a4)-(a1+a3)-a0 =313+312-81=544. 11.(1+2x)的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 解:T6=Cn(2x),T7=Cn(2x),依题意有Cn2=Cn2?n=8. 5 5 6 6 55 66 4 4 4 4 2 2 4 44 2 3 4 444 2 3 4 2 2 4 2 3 4 rn∴(1+2x)的展开式中,二项式系数最大的项为 44 T5=C48(2x)=1 120x. n??C82≥C82,设第k+1项系数最大,则有?kkk+1k+1 ?C82≥C82,? kkk-1k-1 3word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. ∴5≤k≤6. 又∵k∈{0,1,2,…,8}. ∴k=5或k=6. ∴系数最大的项为T6=1 792x,T7=1 792x. 5 6 ?1621?52n2 12.已知(a+1)展开式中的各项系数之和等于?5x+?的展开式的常数项,而(ax?? +1)的展开式的系数最大的项等于54,求a的值. n?1621?5?1?r?16?5-rrr?162?5-r解:由?5x+?,得Tr+1=C5?x?·??=??·C5·x?5?x???x??5? 项,则20-5r=0, 所以r=4,常数项T5=C5×2 4 ,令Tr+1为常数 16 =16. 5 nn又(a+1)展开式中的各项系数之和等于2,由此得到2=16,n=4. 所以(a+1)展开式中系数最大项是中间项 4 T3=C24a=54. 2 4 n所以a=±3. 4word版本可编辑.欢迎下载支持.
2020高中数学人教A版选修231.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时作业
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