第7讲 抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其中 O(0，0) y＝0 x＝0 ?p?F?，0? 2???p?F?－，0? ?2?e＝1 ?p?F?0，? ?2?p??F?0，－? ?2?px＝－ 2px＝ 2py＝－ 2py＝ 2x≥0，y∈R 向右 |PF|＝x0＋ 2x≤0，y∈R 向左 y≥0，x∈R 向上 y≤0，x∈R 向下 pP(x0，y0)) |PF|＝－x0＋ 2
p|PF|＝y0＋ 2p|PF|＝－y0＋ 2p[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y＝2px(p>0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
1
2
[教材衍化]
1．(选修2-1P72练习T1改编)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( ) 9422
A．y＝－x或x＝y
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B．y＝x或x＝y
239422
C．y＝x或x＝－y
239422
D．y＝－x或x＝－y
23
922
解析：选A.设抛物线的标准方程为y＝kx或x＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，2
m＝，所以y2＝－x或x2＝y.故选A.
2．(选修2-1P73A组T3改编)抛物线y＝8x上到其焦点F距离为5的点P有( ) A．0个 C．2个
B．1个 D．4个
2
2
439243
解析：选C.设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，y1＝8x1，所以x1＝3，y1＝±26.故满足条件的点P有两个．故选C.
[易错纠偏]
(1)忽视抛物线的标准形式； (2)忽视p的几何意义； (3)易忽视焦点的位置出现错误． 1．抛物线8x＋y＝0的焦点坐标为( ) A．(0，－2)
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解析：选C.由8x＋y＝0，得x＝－y.
81?11?2p＝，p＝，所以焦点为?0，－?，故选C. 32?816?
2．已知抛物线C与双曲线x－y＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y＝±22x C．y＝±4x
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B．(0，2)
B．y＝±2x D．y＝±42x
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解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y＝
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±2px(p＞0)，则＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y＝±42x.故选D.
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3．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________． 解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y＝16x或x＝－8y.
答案：y＝16x或x＝－8y
抛物线的定义、标准方程与应用(高频考点)
抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．主要命题角度有：
(1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点与焦点的距离； (3)求距离和的最值． 角度一 求抛物线的标准方程
2
2
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p2
?? 已知动圆过定点F?，0?，且与直线x＝－相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹
2?2?
E的方程为________．
pppp??【解析】 依题意得，圆心到定点F?，0?的距离与到直线x＝－的距离相等，由抛物
2?2?
线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y＝2px.
【答案】 y＝2px
角度二 求抛物线上的点与焦点的距离
已知F是抛物线C：y＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若
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2
M为FN的中点，则|FN|＝____________．
【解析】 法一：依题意，抛物线C：y＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是
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C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝±22，
所以N(0，±42)，|FN|＝4＋32＝6.
法二：依题意，抛物线C：y＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，
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FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，
|FN|＝2|MF|＝6.
【答案】 6
角度三 求距离和的最值
已知抛物线y＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|
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2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-7-第7讲-抛物线
